专题20 利用导数研究函数的极值、最值-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题20　利用导数研究函数的极值、最值 高考 概览 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)； 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1．函数的极值与导数 2.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 【常用结论】 1.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． 3.若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点． 【真题体验】 1. (2021全国乙卷)设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 2. (2021全国乙卷)设函数，已知是函数极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 3．（2019全国Ⅲ卷）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围． 考点突破.典题精研 考点一　利用导数求函数的极值 角度1　根据函数图象判断极值 【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝ (1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 名师点拨　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 【训练1】 (多选)(2021·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A.－3是函数y＝f(x)的极值点 B.－1是函数y＝f(x)的极小值点 C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D.－2是函数y＝f(x)的极大值点 角度2　已知函数求极值 【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 名师点拨　运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值. 【训练2】已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值. 角度3　根据极值求参数的值(范围) 【例3】(1)若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________． (2)(2021·沈阳模拟)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 名师点拨　1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练3】(2021·武汉调研)已知函数f(x)＝－2kln x＋kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是________. 考点二　利用导数求函数的最值 角度1：求不含参数的函数最值 【例4】　(1)设函数f(x)＝lnx－x2＋x，求函数f(x)的最值． (2)求函数f(x)＝excosx－x在区间上的最大值和最小值． 角度2：求含参数的函数的最值 【例5】　已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围． 名师点拨 (1)利用导数求函数最值的步骤 (2)含有参数的函数在闭区间上的最值问题，主要采取分类讨论的思想，将导函数的零点与所给区间进行比较，利用导数的工具性得到函数在给定区间内