专题19 利用导数研究函数的单调性-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题19　利用导数研究函数的单调性 高考 概览 1.了解函数单调性和导数的关系； 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 (1)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； (2)在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减. 【常用结论】 1.f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2.若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． 【真题体验】 1.（2021全国甲卷） 已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 2. （2021新高考全国Ⅰ卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 考点突破.典题精研 考点一　不含参函数的单调性 1.函数f(x)＝x2－2ln x的递减区间是(　　) A.(0，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－1，1) 2.函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞) 3.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的递增区间是________. 名师点拨　确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 考点二　讨论含参函数的单调性 【例1】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性. 名师点拨　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数. 【训练1】已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求f(x)的单调区间. 考点三　根据函数单调性求参数 【例2】已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围. 【变式1】本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围. 【变式2】在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围. 名师点拨　1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解. 考点四　与导数有关的函数单调性的应用 角度1　比较大小 【例3】 (多选)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)＜0成立，则有(　　) A.f＞f B.f＞f C.f＞f D.f＞f 角度2　解不等式 【例4】已知f(x)在R上是奇函数，且f′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有f(x)>成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为(　　) A.(－2，＋∞) 　B.(2，＋∞) 　C.(－∞，－2) 　　D.(－∞，2) 名师点拨　1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【训练2】(1)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)