专题18 导数的概念及运算-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题18　导数的概念及运算 高考 概览 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x (1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义 当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 k0＝ ＝f′(x0). 2.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【常用结论】 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2.′＝－(f(x)≠0). 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【真题体验】 1．(2020全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为　 (　　) A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1 C. y＝2x－3 D. y＝2x＋1 2. (2021全国甲卷)曲线在点处的切线方程为__________． 3．(2020全国卷Ⅰ)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________. 考点突破.典题精研 考点一　导数的运算 1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.′＝－ B.(x2ex)′＝2x＋ex C.(xcos x)′＝－sin x D.′＝1＋ 2.若f(x)＝，则f′(x)＝________. 3.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________. 4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________. 名师点拨　1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 考点二　导数的几何意义 角度1　求切线的方程 【例1】 (1) 曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 (2)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________. 角度2