专题15 函数与方程-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题15　函数与方程 高考 概览 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 【常用结论】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 【真题体验】 1．（2020天津卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2019浙江卷）已知，函数，若函数恰有3个零点，则 A．a<-1，b<0 B．a<-1，b>0 C．a＞-1，b<0 D．a＞-1，b>0 3．（2019全国Ⅲ卷）函数在[0，2π]的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2020上海11）已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，①对任意，的值为或；②关于的方程无实数解；则的取值范围为 ． 考点突破.典题精研 考点一　函数零点所在区间的判定 1.(多选)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2) 2. 函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(0,1)，(2,3) 3.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内 4.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________. 名师点拨　确定函数零点(或方程的根)所在区间的3种方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点二　确定函数零点的个数 【例1】 (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2021·河南郑州质检)已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 名师点拨　函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练1】 (1)(2021·重庆调研)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________. 考点三　函数零点的应用 角度1　根据函数零点个数求参数 【例2】 (1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________. (2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　) A. B. C.∪{1} D.∪{1} 角度