专题13 对数与对数函数-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题13　对数与对数函数 高考 概览 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点； 3.知道对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【常用结论】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限. 【真题体验】 1. （2021全国乙卷）设，，．则（ ） A. B. C. D. 2．（2020全国Ⅰ卷）设，则（ ） A． B． C． D． 3．（2020全国Ⅱ卷）设函数，则（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 4．（2020全国Ⅲ卷）已知．设，则（ ） A． B． C． D． 5．(2019天津卷)已知a＝log52，b＝log0. 50. 2，c＝0. 50. 2，则a，b，c的大小关系为 (　　) A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b 考点一　对数的运算 1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　) A. B.10 C.20 D.100 2.(多选题)(2021·临沂期末)若10a＝4，10b＝25，则(　　) A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6 3.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 4.计算：计算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2； (2)； (3)(log32＋log92)·(log43＋log83)． 名师点拨　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二　对数函数的图象及应用 【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) (2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________. 名师点拨　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程