专题12 指数与指数函数-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题12　指数与指数函数 高考 概览 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 【常用结论】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 【真题体验】 1．（2020北京卷）已知函数，则不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 2．(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 3．（2019北京卷）设函数 (a为常数)，若为奇函数，则a=______； 若是上的增函数，则a的取值范围是 ________． 考点突破.典题精研 考点一　指数幂的运算 1.[(0.064)－2.5]－－π0＝________. 2.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________. 3.(2021·沧州联考) ·(a>0，b>0)＝________. 4.已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________. 名师点拨　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考点二　指数函数的图象及应用 【例1】(1)(2021·洛阳市高三模拟)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　) (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 名师点拨　1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. [训练1]　(1)若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围． (2)若将本例(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？ (3)若将本例(2)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？ 考点三　解决与指数函数性质有关的问题 角度1　比较指数式的大小 【例2】 (1)(2020·天津卷)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b (2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是_____