专题11 幂函数与二次函数-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题11　幂函数与二次函数 高考 概览 1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质；2.了解幂函数的概念； 3.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x (1)，y＝x2 (1)的图象，了解它们的变化情况． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【常用结论】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【真题体验】 1．（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2020江苏卷）已知是奇函数，当时，，则的值是 ． 3.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 考点突破.典题精研 考点一　幂函数的图象和性质 1.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　) 2.(多选)(2020·襄阳调研)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.(0，＋∞)上的增函数 D.(0，＋∞)上的减函数 3.(2021·巴蜀中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 4.(2021·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________. 名师点拨　1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 考点二　二次函数的解析式 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 名师点拨　求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下： 【训练1】(1)若二次函数的图象过点(4，－3)，且当x＝3时，二次函数取得最大值－1，则该函数的解析式为________． (2)若二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(3,0)，且过点(0,3)，则该二次函数的解析式是________． 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 【例2】 (1)(多选) 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝ －1.则(　　) A.b2>4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a<b (2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　) A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0 C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0 名师点拨　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行