专题10 函数的奇偶性与周期性-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题10　函数的奇偶性与周期性 高考 概览 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【常用结论】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. (3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. 【真题体验】 1.(2021全国甲) 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 2. (2021全国甲)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 3．(2020全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x) (　　) A. 是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 4．（2020山东卷）若定义在上的奇函数在 单调递减，且，则满足 的的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 5．(2019全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax. 若f(ln2)＝8，则a＝________. 考点突破.典题精研 考点一　函数的奇偶性及其应用 角度1　函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) ；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 名师点拨　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 角度2　函数奇偶性的应用 【例2】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若 f(ln 2)＝8，则a＝________. (2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________. 名师点拨　　1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【训练1】 (1)(2021·武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A.y＝xsin x B.y＝xln x C.y＝ D.y＝xln(－x) (2)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________. 考点二　函数的周期性及其应用 1.设f(x)是定义在