专题09 函数的单调性与最值-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题09　函数的单调性与最值 高考 概览 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的最值． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)增函数与减函数 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. 【真题体验】 1. (2021北京卷)已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.(2021天津卷)设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. (2021新高考Ⅰ卷)函数的最小值为______. 考点突破.典题精研 考点一　确定函数的单调性(区间) 1.(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.y＝x B.y＝2－x C.y＝logx D.y＝ 2.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A. B. C.(－2，3) D. 3.(2021·重庆联考)下列函数的图象既关于直线x＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是(　　) A.y＝sin πx B.y＝|x－1| C.y＝cos πx D.y＝ex＋e－x 4.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________. 名师点拨　1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法. 2.函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点二　函数的最值(值域) 【例1】 (1)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________. (2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 名师点拨　　1.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练1】 (1)已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是(　　) A.y＝4x＋ B.y＝x＋ C.y＝－x2＋2x＋3 D.y＝5＋ln x－ (2)(多选)(2021·淄博质检)对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列说法中正确的是(　　) A.f(－3.9)＝f(4.1) B.函数f(x)的最大值为1 C.函数f(x)的最小值为0 D.方程f(x)－＝0有无数个根 考点三　函数单调性的应用 角度1　利用单调性比较大小 【例2】 (1)(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c (2)(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.a>c>b 角度2　求解函数不等式 【例3】 (1)已知函