考点45 数系的扩充与复数的引入-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点45 数系的扩充与复数的引入 【命题趋势】 本节是高考的热点，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的较靠前位置，比较简单，属于送分题． 【重要考向】 本节通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算核心素养和等价转化思想的应用． 复数的概念 复数概念相关问题的技巧： 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解. 【典例】 1．若复数z满足，则z的虚部为（ ） A．-3 B．3 C．5 D．-5 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数z的虚部为. 故选: A. 复数的四则运算 解题技巧： (1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可． (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简． (3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答． 【典例】 2．若复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由复数除法求得，得其共轭复数，然后由复数的乘方计算化简，最后由模的定义求解． 【详解】由得复数， ∴．，∴， 故选：D． 3．若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出. 【详解】由为纯虚数， 得到且，解得. 故选：A. 复数的几何意义 复数的几何意义： (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R)Z(a，b). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 3．若复数z满足z（1+i3）=2i，则z在复平面内对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，化简得的，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数z在复平面内对应的点的坐标为位于第二象限. 故选：B. 1．复数满足条件（为虚数单位），则（ ） A．1 B．5 C． D．25 2．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．（ ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．关于复数的方程在复平面上表示的图形是（ ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 6．已知是虚数单位，，且，则__________. 7．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数___________ 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，则（ ） A． B． C． D． 2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，则（ ） A． B． C． D． 3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知，则（ ） A． B． C． D． 5．（2021年浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A．0 B．1 C． D．2 8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i）4=（ ） A．–4 B．4 C．–4i D．4i 9．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若，则z=（ ） A．1–i B．1+i C．–i D．i 10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 11．（2020年浙江卷）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 12.（2019年浙江卷） 复数（为虚数单位），则________. 1．已知复数，若复数z在复平面内对应的点在直线y=x