专题03 空间向量与立体几何（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题03 空间向量与立体几何 一、考情分析 二、考点梳理 一、空间直角坐标系 定义 以空间中两两__________且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标__________，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy平面、yOz平面、__________平面． 画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝__________，∠yOz＝90°． 图示 说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间直角坐标系中点的坐标 1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系 如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________． 2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 点的位置 点的坐标形式 原点 （0，0，0） x轴上 （a，0，0） y轴上 （0，b，0） z轴上 （0，0，c） xOy平面上 （a，b，0） yOz平面上 （0，b，c） xOz平面上 （a，0，c） 3．空间直角坐标系中的对称点 设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则 对称轴（或中心或平面） 点P的对称点坐标 原点 x轴 y轴 （－a，b，－c） z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 三、空间两点间的距离公式 如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为． 在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以． 在中，， 根据勾股定理，得____________________________． 因此，空间中点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之间的距离是____________________________． 特别地，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离为|OP|＝． 空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P． 三、题型突破 1．确定空间任一点的坐标 确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是： ①过P作PC⊥z轴于点C； ②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|． 当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、 C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的． 例1．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 【答案】（1），，，，，，，；（2）. 【分析】 （1）根据顶点位置依次判断即可得到结果； （2）由中点坐标公式计算可得结果. 【详解】 （1）为坐标原点，则， 点在轴的正半轴上，且，， 同理可得：，． 点在坐标平面内，，，， 同理可得：，， 与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，． 综上所述：，，，，，，，. （2）由（1）知：，， 则的中点为，即. 【变式训练1-1】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0) 【答案】：C 【解析】：点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 【变式训练1-2】（2021·全国高二课时练习）如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】 写出点的坐标，即可得