专题06 幂函数及其复合函数的综合问题（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题06 幂函数及其复合函数的综合问题 一、考情分析 二、考点梳理 重难点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减 三、题型突破 重难点1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．（1）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数的表达式为，则，解得， 所以，则.故答案为B. 【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题． （2）.（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【答案】D 【解析】 由题意为幂函数，所以，解得或. 因为在上为增函数，所以，即，所以. 故选D. （3）.（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（ ） A．-1 B．2 C．-1或2 D．3 【答案】A 【解析】 函数是幂函数且在是递减的， 则，解得． 故选：A． 【变式训练1-1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D　 【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D． 【变式训练1-2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 【答案】B　 【解析】当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1时满足题意．故选B 【变式训练1-3】．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则的值为　　 A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】 根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值． 【详解】 设幂函数为，的图象过点， ．，， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题. 重难点2 幂函数的图像及其性质的应用 (二) 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 例2．（1）（2020·全国高一课时练习）如图，若，分别为函数和的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据对数函数的图象特征，即可直接得到大小关系. 【详解】 根据，分别为函数和的图象， 可得，，且. 故选：B 【点睛】 本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题. （2）．（2021·全国高一课时练习）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ① ② ③ ④ A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】 通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项 【详解】 ②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ 故选Ｂ． 【点睛】 本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题． 【变式训练2-1】.（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a