专题05 对数与对数函数（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题05 对数与对数函数 一、考情分析 二、考点梳理 重难点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 三、题型突破 重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 例1．（1）（2021·长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】 根据对数运算与指数幂运算即可得出结果． 【详解】 故选：C （2）．（2021·全国高一专题练习）下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据对数的运算法则逐一判断可得选项. 【详解】 对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：∵,∴，故C正确， 对于D：，故D不正确， 故选： C. （3）．（2021·北京一七一中高三月考）___________. 【答案】 【分析】 利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为：. 【变式训练1-1】．（2017·全国高一单元测试）已知10m＝2，10n＝4，则的值为(　　) A.2 B. C. D.2 【答案】B 【解析】＝＝＝＝.答案：B 【变式训练1-2】．（2013·全国高一课时练习）已知，则的值为（ ） A． B．4 C．1 D．4或1 【答案】B 【解析】因为， 所以，，, 解得=1（舍去），=4，故选B. 【变式训练1-3】．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）计算：___________. 【答案】 【分析】 结合对数的运算法则以及换底公式计算即可求出结果. 【详解】 ， 故答案为：. 例2．（2021·海南省白沙黎族自治县白沙中学高一期中）计算下列各式的值： （1）； （2）lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2． 【答案】（1）；（2）52. 【分析】 （1）直接利用指数幂的运算性质即可求解； （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】 （1） . （2） =52. 【变式训练2-1】．（2019·罗平县第二中学高一期中）计算： （1）. （2） 【答案】（1）20 （2）-2 【分析】 根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。 【详解】 （1） = （2）= 【点睛】 本题考查指数与对数的运算，以及计算能力，（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可，属于基础题。 重难点2 对数函数的图像与性质 例3．（1）．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据图象求得的解析式，再根据关于直线对称的函数互为反函数求解即可 【详解】 由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故 故选：C 【点睛】 本题主要考查了根据图象求对数函数的解析式、对数函数的反函数等，属于基础题 （2）．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B． （3）．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a