专题2.4 基本不等式及其应用-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题2.4 基本不等式及其应用 模块一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 4、三角不等式 对任意的实数a,b.有|a+b|≤|a|+|b|且等号当且仅当ab≥0时成立。 模块二：强化提高训练 一、填空题（共10小题） 1.已知a，b均为正数，且a+b＝1，﹣1的最小值为　　． 2.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小为　　． 3.已知x，y＞0，且+=，则x+y的最小值为　　． 4.设a、b都为正数，且a+b＝4，则+的最小值为　　． 5.已知x＞0，y＞0，且xy=，则+的最小值为　　． 6.已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+b的最小值为　　． 7.已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则+的最小值为　　． 8.已知正实数m，n满足m+2n++=，则m+2n的最小值是　　． 9.若a，b为实数，且1≤a≤2，1≤b≤2，则+的最小值是　　． 10.已知正实数x，y满足xy2（x+y）＝4，则2x+y的最小值为　　． 二、单选题（共5小题） 11.若实数x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+（　　） A．有最大值为 B．有最小值为+ C．有最小值为2 D．无最小值 12.已知正实数a，b满足3a+2b＝1，则+的最小值为（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 13.若∃x＞0，使得x+-m≤0，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4 14.设m，n为正数，且m+n＝2，则+的最小值为（　　） A． B． C． D． 15.若正数x，y满足+＝5，则3x+4y的最小值是（　　） A．5 B． C． D．6 三、解答题（共5小题） 16.设x＞0，y＞0，xy＝x+4y+a，其中a为参数． （1）当a＝0时，求x+y的最小值； （2）当a＝5时，求xy的最小值． 17.已知x，y为正实数，且满足x+y＝1． （1）若xy≤m恒成立，求m的最小值； （2）证明：（x+）2+（y+）2≥． 18.（Ⅰ）若a，b＞0，且ab＝a+b+3，求ab的最小值； （Ⅱ）若a，b＞0，且ab＝a+b，求4a+b的最小值． 19.已知9x2+y2+4xy＝10． （1）分别求xy和3x+y的最大值； （2）求9x2+y2的最小值和最大值． 20.设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0． （1）当a＝1，b＝1时，求不等式f（x）＜3的解集； （2）若f（x）的最小值为2，求|+|的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 基本不等式及其应用 模块一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3、用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 4、三角不等式 对任意的实数a,b.有|a+b|≤|a|+|b|且等号当且仅当ab≥0时成立。 模块二：强化提高训练 一、填空题（共10小题） 1.已知a，b均为正数，且a+b＝1，﹣1的最小值为　　． 答案： 【解答】解：因为a+b＝1， 所以﹣1= - 1=+≥2＝， 当且仅当， 即a=-1,b=2 - 时取等号， 故答案为： 【知识点】基本不等式及其应用 2.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则+的最小为　　． 【答案】3+2 【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1， ∴+=+＝3++≥3+2，当且仅当+，即a=-1,b=2 - 时取等号， ∴+的最