山西省运城市2022届高三上学期入学摸底测试理科数学试题

数学理科参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C B B D B B A A C C 二、填空题 13.1 14. 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 答案：（1）设公差为d，则，，，， ………2分 又是与的等比中项，，解得或（舍去）……4分， . ………………6分 （2）由（1）得， ………………7分 故其前n项和，① 则，② ………………9分 由①-②得， ………………10分 . ………………………………………………………12分 18.答案：解：（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且 所以为等腰直角三角形 因为，所以， 因为，，所以 ………………… ………………2分 所以， 又因为平面，平面， 所以平面 …………………………………………………………4分 因为平面 所以 …………………………………………………………5分 （2）因为，， 所以，即 因为，平面，平面， 所以平面 …………………………………………………………6分 如图，以为原点，，，分别为，轴建立空间直角坐标系， 由（1）知，故，，，，，，， a 假设在棱上存在一点满足题意，设，. 所以 …………………………………8分 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，解得，故 ……………………………………10分 易得平面的一个法向量为 设二面角为，可知二面角为锐二面角 解得， 所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处………………12分 19.答案：（1）设顾客所获的奖励额为X. ①依题意，得，即 顾客所获的奖励额为60元的概率为.…………………………………………………………2分 ②依题意，得随机变量X的所有可能取值为20，60. . 即随机变量X的分布列为 X 60 20 P …………………………………………………………4分 所以顾客所获的奖励额的均值为 . ……………………………………5分 （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元. 所以先寻找均值为60元的可能方案. 对于由标有面值为10元和50元组成的情况， 如果选择的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元； 如果选择的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是，记为方案1 对于由标有面值为20元和40元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案2. .………………7分 对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为,则随机变量的分布列为 20 60 100 P . .………………9分 对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则随机变量的分布列为 40 60 80 P . .………………11分 因为两种方案所获的奖励额都符合要求，但方案2所获的奖励额的方差比方案1的小，即方案2使每位顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2. ………………12分 20.解：(Ⅰ)已知()到焦点的距离为，则点到其准线的距离为10.………………2分 ∵抛物线的准线为，∴，……………………………………2分 解得，，∴抛物线的方程为. …………………………5分 (Ⅱ)由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为(0，1)，则. 设()，(，)，由消去得，， ∴，. ……………………………………7分 由于抛物线也是函数的图象，且，则. 令，解得 ，∴，从而.………………9分 同理可得，，…………………………………………………………10分 ∴. ∵，∴的取值范围为. ……………………………12分 21 （1）， 当时，，递增，当时，，递减。 故的单调递增区间为，单调递减区间为。 …………………3分 （2）是的一个零点，当时，由得，， ， 当时，递减且。 当时，，且时， 递减，时，递增，故，. ………………………………5分 分析图像可得， 当时，有1个零点 当或时， 有2个零点；； 当时， 有3个零点. ………………………………7分 （3）， ，………………………………8分 设的根为