5.1导数的概念（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

5.1导数的概念 B 能力培优练 1．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据导数的几何意义求得切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率之间的关系求得倾斜角的取值范围. 【详解】 因为， 由于， 所以， 根据导数的几何意义可知： , 所以， 故选：D. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断. 【详解】 因为、分别是函数在、处的切线斜率， 由图可知， 又，， 所以， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关导数的几何意义的问题，正确解题的关键是理解函数的变化率和导数的几何意义. 3．若直线与函数的图象相切于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由切线的斜率计算可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案. 【详解】 由可得．由已知可得，，即，可得，两边取自然对数可得，所以. 故选：B． 【点睛】 关键点睛：曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线. 4．若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 法一：设公切线与，图象分别切于点，写出图象在A处的切线方程和图象在B处的切线方程，由两直线重合，消去得到，令，再由求解.方法二： 由，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线，转化为在上恒成立求解. 【详解】 法一：设公切线与，图象分别切于点， 则图象在A处的切线方程为：， 即， 同理：图象在B处的切线方程为：， 即， 由上述两直线重合，消元可得，， 令， 则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 则，解得， 方法二：在同一坐标系中作出，的图象如图所示： 由图象知：，分别为上凸和下凸函数，要使，存在公切线， 只须在上恒成立即可， 即在上恒成立 令，求导得， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值为， 所以 故选：A 【点睛】 方法点睛：求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 5．若直线与曲线相交于不同的两点，，曲线在点，处的切线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 A选项根据图像可以得出结论； B选项：设，写出点处的切线程联立并化简得，从而得出结论； C选项：要证明即，化简得，设，可得令，通过求导判断的单调性，进一步得到，从而得证； D选项，根据C选项的结论得出结论. 【详解】 A选项：当≤0时，直线与曲线只有一个交点，故A错误； B选项：设，且，可得， 在点处的切线程为 得，将代入得 化简，∵∴ 故，故B错误； C选项：要证明即， 化简得， 设，可得 令 ， 当，，在上单调递增，所以， 所以， 在上单调递增，所以， 所以，即，故C正确； D选项，根据C选项可得D选项错误. 故选：C. 【点睛】 导数中双变量问题，此时处理的方式是通过变形,把看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量，这是一种比较常见的解题方法. 6．函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导，由导函数的几何意义和直线垂直的条件可得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】 因为，所以， 因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在和处的切线互相垂直， 则，即①， 因为a的值一定存在，即方程①一定有解，所以， 即，解得或， 又，所以有或，，所以方程①变为，所以， 故选：B. 【点睛】 关键点睛：本题考查导函数的几何意义，关键在于根据直线垂直的条件将问题转化为方程有解，再由根的判别式和余弦函数的值域得以解决. 7．若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在A，点处切线交于点，则（ ） A． B． C． D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】 对于A：求出过原点的切线的斜率为，根据直线与曲线有两个不同的交点，可得出和范围； 对于B：由已知