3.2.双曲线（A 基础培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2双曲线 A 基础培优练 1．已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，为左支上一点，，，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 结合双曲线的定义以及在中利用余弦定理可以求出的关系，进而可以求得离心率. 【详解】 设，则，由双曲线的定义知，∴，又，∴，即，∴，即， ∴双曲线的离心率为，故选：D. 2．若双曲线（，）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 依题意可求得，进而可求出，从而可求得该双曲线的渐近线方程. 【详解】 由题意知，，所以，， 由，解得， 该双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为.故选:A． 3．若双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题可根据双曲线方程得出、，然后根据离心率为得出，最后根据即可得出结果. 【详解】 因为双曲线的方程为， 所以，， 则，解得， 因为，所以， 故选：A. 4．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】 ，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：A. 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件结合双曲线的定义可得，即，从而可得双曲线的离心率. 【详解】 由双曲线的定义可得，∵， ∴，即， 则的离心率为． 故选：D． 6．已知直角中有一个内角为，如果双曲线以为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【分析】 分别讨论、、 即可 【详解】 当时 ; 当时 ; 当时 ； 故选: ACD 7．已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ） A． B．直线，的斜率之积等于定值 C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】 A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确； B，设点， 有，， 直线的斜率之积 ，所以B正确； C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰， 在第一象限双曲线上有且仅有一个点使， 此时为等腰三角形， 也且仅有一个点使，此时为等腰三角形， 同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确； D，， 设，，由双曲线的定义可得， 则，① 由余弦定理可得，② ②①得，， 则 ，所以D不正确. 故选：ABC 【点睛】 关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题的关键是能记住常见的二级结论，可以简化计算，考查了计算能力. 8．已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线：的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为. （1）当时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于、两点，若弦长等于的周长，求直线的方程； （3）由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，1和 【分析】 (1)由题意可得的关系，当时求出抛物线的准线方程，进而求出椭圆中的值，求出即可. (2)设直线，联立椭圆方程，由韦达定理求，，结合弦长公式表示,再由 等于的周长，解出直线的斜率即可. (3)对两个顶点所在曲线上的位置进行分类讨论，逐一求出对应直线的斜率即可. 【详解】 (1)设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 当时，由题意得，， 所以椭圆的方程为. (2)由题意知直线的斜率存在且不为0，设：，由 得，设， 有，则=， 又的周长为，所以， 解得，故直线的方程为. (3)由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧和 椭圆弧合成，且、 ，假设存在为等腰直角三角形， 由所在曲线的位置做如下3种情况讨论： ①当同时在抛物线弧上时， 的斜率分别为、，此时为钝角，不符合题意. ②当同时在椭圆弧上时， 由椭圆和等腰直角三角形的对称性知，两直角边关于x轴对称， 即直线的斜率为1，直线的斜率为-1， 得，符合题意；此时存在. ③不妨设当在抛物线弧上，在椭圆弧上时，设直线：， 将其代入得；由， 得直线：，同理代入椭圆弧 得，由得 解得与矛盾，此时不存在. 故存在以原点为直角顶点，另两个