3.1椭圆（A 基础培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1椭圆 A 基础培优练 1．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可． 【详解】 设椭圆的方程为()， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为， 根据题意可得近火点满足，， 解得，， 所以椭圆的离心率为， 故选：A． 2．已知两定点､和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求，的值，本题属于基础题. 根据是与的等差中项，得到，即，得到点在以，为焦点的椭圆上，已知，的值，做出的值，写出椭圆的方程. 解：∵､， ∴， ∵是与的等差中项， ∴， 即， ∴点在以，为焦点的椭圆上， ∵，，， ∴， ∴椭圆的方程是.故选：B. 3．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设椭圆标准方程为，根据条件求出即可. 【详解】 ∵焦点F1，F2在y轴上， ∴可设椭圆标准方程为， 由题意可得， ∴，即， ∵△F2AB的周长为32， ∴4a＝32，则a＝8，∴， 故椭圆方程为． 故选：B． 4．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值． 【详解】 解：依题意可得． 又 ，，，． 故选：D． 5．已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义即可求解. 【详解】 设的内切圆的半径为， 由，则，， 所以，， 由， 即， 即，若的内切圆的半径最大， 即最大，又， 所以. 故选：D 6．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ） A．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为 B．椭圆轨道Ⅱ的焦距为 C．若不变，则越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短 D．若不变，则越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大 【答案】BD 【分析】 根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为与，分别结合两圆的半径R和r分析选项即可求解. 【详解】 设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为，短轴长为，焦距为. 依题意得，解得，. 椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为，故A错误； 椭圆轨道Ⅱ的焦距为，故B正确； 椭圆轨道Ⅱ的短轴长，若不变，越大，则越大，故C错误； 椭圆轨道Ⅱ的离心率，若不变，越小，则越大，故D正确. 故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：根据示意图理解并找出椭圆中与两圆半径的关系，是解决问题的关键. 7．已知椭圆的左右焦点分别为 直线与圆相切于点，与椭圆相交于两点，点在轴上方，则（ ） A．弦长的最大值是 B．若方程为，则 C．若直线过右焦点，且切点恰为线段的中点，则椭圆的离心率为 D．若圆经过椭圆的两个焦点，且，设点在第一象限，则的周长是定值 【答案】BCD 【分析】 A选项，取特殊情况，直线与圆相切于点时，求出此时的弦长，即可判定A错； B选项，根据点到直线距离公式，得到，结合椭圆的性质，即可判定B错； C选项，根据题中条件，得到，且，进而得到，，再由椭圆定义列出等量关系，化简整理，即可得出结果；判定C正确； D选项，先由题中条件，根据椭圆定义，得到椭圆的方程为，设，，由题中条件，得到，再表示出，，进而可得出周长，判定D正确. 【详解】 对于选项A，当直线与圆相切于点时，由得， 此时，故选项A错误； 对于选项B ，圆心到直线的距离为，得，，