3.1椭圆（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

2.3圆与圆的位置关系 B 能力培优练 1．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】 设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范围即可. 【详解】 由椭圆方程，知， ，设右焦点为，即 设,， 由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为 由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为， 所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点， 联立方程，消去x得： 由韦达定理得，， 令，则，，则 ，当且仅当，即时，等号成立， 故三角形ABF面积最大值为 故选：A 【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程在椭圆上一点的切线方程为，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题. 2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可. 【详解】 若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为， ∴，设切线为，切线为， ∴，整理得，由知： ，整理得， 同理，，可得， ∴，即，故. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 3．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率. 【详解】 由题设，则线段的中点为， 由三角形重心的性质知，即，解得： 即代入直线，得①. 又B为线段的中点，则， 又为椭圆上两点，， 以上两式相减得， 所以，化简得② 由①②及，解得：，即离心率. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 4．已知椭圆：的左､右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由轴，求出，再利用，得到线段比例关系，从而得到，，进而得到点，代入椭圆结合即可求得离心率. 【详解】 由，， 将代入椭圆方程知，解得：，即 过点作轴，则，又 ，得， 所以点的坐标为，即 又点在椭圆上，，即 又，，，即 故选：D 【点睛】 方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 5．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（ ） ①的取值范围是； ②曲线是中心对称图形； ③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部； ④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于； A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④ 【答案】C 【分析】 由曲线方程性质可知①正确；关于原点对称的两个点点，是否都在曲线上，可判断②；令代入验证即可判断③；通过轨迹法求得垂线段中点的轨迹方程，判断轨迹中的点与的关系即可判断④. 【详解】 ，可知，即，，，，①正确； 将方程中的换成，换成方程不变，故②正确； ，令，则，当时，，点在椭圆的外部，故③错误； 过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹为，即， 在上任取一点， ， ，，即在外， 围成图形的面积大于，故④错误. 故选：C 【点睛】 方法点睛：关于对称点的问题