精品解析：上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学 期末试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 的单位向量的坐标为__________． 2. 在空间，与边长均为3cm的的三个顶点距离均为1cm的平面共有 . 3. 若，则__________． 4. 关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________． 5. 设复数，是实数，则，满足条件___________． 6. 已知向量，不共线，实数，满足，则的值为__________． 7. 已知，则的取值范围是__________． 8. 已知，方程的解为___________． 9. 已知直线，垂直，直线与所成的角为，则与所成角的范围是___________． 10. 平行六面体棱长均为2，，且底面，则对角线与侧面所成角的正弦值为___________． 11. 已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______. 12. 空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种． 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列说法正确的有（ ） （1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面． A 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 四面体的四个面中，直角三角形最多可有（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心 16. 在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在平面直角坐标系中，向量，，．若，求值． 18. 空间四边形中，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线． 19. 在边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量． 20. 如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量． （1）已知，，求； （2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求； （3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学 期末试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 的单位向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的求法，即可得答案. 【详解】由题意得：与同方向的单位向量为. 故答案为： 2. 在空间，与边长均为3cm的的三个顶点距离均为1cm的平面共有 . 【答案】8 【解析】 【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数 【详解】若三角形在平面的同侧,此时到的三个顶点距离均为的平面的平面有两个. 因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为, 所以当平面经过中位线EF时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到的三个顶点距离均为. 同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个. 所以满足条件的平面共有8个. 故答案为8. 【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题. 3. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算． 【详解】由已知． 故答案为：． 4. 关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得的另一根为，再由韦达定理可得，即可求出的值. 【详解】由题意得实系数一元二次方程的另一根为，再由韦达定理可得，得. 故答案为： 5. 设复数，是实数，则，满足条件___________． 【答案】且 【解析】 【分析】化简，再由是实数，虚部为，分母不为化简，即可得答案. 【详解】由题意，是实数，即为实数，可得且，即且. 故答案为：且. 6. 已知向量，不共线，实数，满足