专题06 一元二次不等式及其解法-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题06　一元二次不等式及其解法 高考 概览 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系； 2.会解一元二次不等式． 3.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【常用结论】 1. 一元二次不等式恒成立 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c>0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c<0. 2. 单、双变量恒成立、有解、无解的转化 (1)单变量的恒成立、有解、无解的转化 ①对任意的x∈[m，n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max； 若存在x∈[m，n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min； 若对任意x∈[m，n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min. ②对任意的x∈[m，n]，a<f(x)恒成立 ⇒a<f(x)min； 若存在x∈[m，n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max； 若对任意x∈[m，n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max. (2)双变量的恒成立、有解、无解的转化 ①对任意的x∈[a，b]，不等式f(x)>g(x)恒成立，只须[f(x)－g(x)]min>0. ②存在x0∈[a，b]，不等式f(x0)>g(x0)成立，只须[f(x)－g(x)]max>0. ③对任意x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，不等式f(x1)>g(x2)恒成立，只须f(x)min>g(x)max. ④存在x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，不等式f(x1)>g(x2)成立，只须f(x)max>g(x)min. ⑤对任意x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，不等式f(x1)>g(x2)成立，只须f(x)min>g(x)min. 【真题体验】 1．（2019•新课标Ⅰ）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2．（2019•新课标Ⅱ卷）设集合，，则　　 A． B． C． D． 7．（经典高考）已知集合，2，，，，则等于　　 A． B．， C．，1，2， D．，0，1，2， 考点突破.典题精研 考点一　一元二次不等式的解法 【例1】(1)(2021届湖南百校9月联考)设集合A＝{x|x<x2}，B＝{x|x2＋x－6<0|，则A∩B＝ (　　) A. (0，1) B. (－3，0)∪(1，2) C. (－3，1) D. (－2，0)∪(1，3) (2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 名师点拨1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式. (2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根. (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用. 【训练1】 (1)不等式≥0的解集为(　　) A.[－2，1] B.(－2，1] C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) (2)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集. 考点二　一元二次方程与一元二次不等式 【例2】(2021·福州调研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是__