专题05 基本不等式及其应用-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题05　基本不等式及其应用 高考 概览 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【常用结论】 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.≤≤≤(a>0，b>0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【真题体验】 1．（2020上海卷）下列不等式恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 2.(2020天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________. 3.（2021天津卷）若，则的最小值为____________． 考点突破.典题精研 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法求最值 【例1】 (1) (1)(2021届长沙雅礼中学高一月考)已知x>2，则函数f(x)＝x＋的最小值为 (　　) A. 2＋ B. 2＋2 C. 2 D. 2 角度2　常数代换法求最值 【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m，n满足m＋2n＝8，则＋的最小值为________，等号成立时m，n满足的等量关系是________. 角度3　消元法求最值 【例3】(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________. 名师点拨　利用基本不等式求最值的方法 (1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立. (2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件. (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解. 【训练1】 (1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋＋的最小值为(　　) A.6 B.6 C.3 D.3 (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4 B.若x<，则函数y＝2x＋的最大值为－1 C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1 D.函数y＝＋的最小值为9 考点二　基本不等式的综合应用 【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为(　　) A. B.3＋2 C.3 D.9 (2)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 名师点拨　　1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值. 2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围. 【训练2】 (1)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 考点三　基本不等式的实际应用 【例5】（2021·云南弥勒市一中高一月考）某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）与时间成一次函数，且第3天的人均消费为560元，第10天的人均消费为700元． （1）求该商场的日收入（单位：元）与时间的函数关系式； （2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值． 名师点拨　　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求