专题04 等式性质与不等式性质-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题04　等式性质与不等式性质 高考 概览 1.理解等式的性质与不等式的概念; 2.掌握不等式的性质及应用. 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 【常用结论】 1. 不等式相减、相除及取倒数 (1)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d. (2)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒＞. (3)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜. 2. 分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0). (2)假分数性质：>；<(b－m>0). 【真题体验】 1．（2020天津卷）设，则的大小关系为( ) A． B． C． D． 2．（2021全国乙卷）设，，．则（ ） A. B. C. D. 3.2021全国乙卷） 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 考点突破.典题精研 考点一　比较数(式)的大小 1.已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________. 2.若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空). 3.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 4.若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝ab·ba的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q 名师点拨　1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 考点二　不等式的性质 【例1】(1)设a，b，c，d均为非零实数，则下列命题中正确的为 (　　) A. 若bc－ad>0，－>0，则ab<0 B. 若a<b<0，则> C. 若a>b，c>d，则a－c>b－d D. 若a>b>1>d＋1，则loga(b－d)<logb(a－d) (2)(2021届陕西西安中学月考)若<<0，给出下列不等式，其中正确的是 (　　) A. > B. |a|＋b>0 C. a－>b－ D. lna2>lnb2 名师点拨　　解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练1】 (1)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是(　　) A.ab＞ac B.c(b－a)＜0 C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0 (2)下列命题中正确的是(　　) A.若a＞b，c∈R，则ac＞bc B.若a＞b，c＜d，则＞ C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＞0，a＞b，则＜ 考点三　不等式及其性质的应用 角度1　不等式在实际问题中的应用 【例2】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 角度2　求代数式的取值范围 【例3】已知