专题03 全称量词与存在量词-备战2022年新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用）

专题03　全称量词与存在量词 高考 概览 1.理解全称量词与存在量词的意义； 2.能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定． 必备知识.真题演练 【知识梳理】 1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 2.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 【常用结论】 1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定. 3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 【真题体验】 1.（经典高考）设命题：，，则为 A． B． C． D． 答案 C 解析 命题是一个特称命题，其否定是全称命题． 2．（经典高考）设，集合是奇数集，集合是偶数集，若命题：，则 A．： B．： C．： D．： 答案 C 解析 由命题的否定易知选C． 3. （经典高考）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案B 解析 根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”，故选B． 考点突破.典题精研 考点一　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例1】 (1)(多选)下列四个命题中为真命题的是(　　) A.∃x∈(0，＋∞)，＜ B.∃x∈(0，1)，logx＞logx C.∀x∈(0，＋∞)，＞logx D.∀x∈，＜logx (2)以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x，使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使＞2 答案　(1)BD　(2)B 解析　(1)对于A，当x∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故A是假命题；对于B，当x＝时，有1＝log＝log＞log成立，故B是真命题；对于C，当0＜x＜时，logx＞1＞，故C是假命题；对于D，∀x∈，＜1＜ logx，故D是真命题. (2)A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有＜0，不满足＞2，所以D是假命题. 名师点拨　判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可. 【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有(　　) A.∀x∈R，2x－1＞0 B.∀x∈N*，(x－1)2＞0 C.∃x∈R，lg x＜1 D.∃x∈R，tan x＝2 (2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，f(－x)≠f(x) B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x) C.∃x∈R，f(－x)≠f(x) D.∃x∈R，f(－x)≠－f(x) 答案　(1)ACD　(2)C 解析　(1)当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x∈R，f(－x)≠f(x)为真命题. 考点二　含有一个量词的命题的否定 1.已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则为(　　) A.∃x∈R，ex－x－1≥0 B.∃x∈R，ex－x－1＞0 C.∀x∈R，ex－x－1＞0 D.∀x∈R，ex－x－1≥0 答案　C 解析　根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得为“∀x∈R，ex－x－1＞0”，故选C. 2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则为(　　) A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形 C.有的正方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边形不是平行四边形 答案　C 解析　“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即为有的