专题2.2 一元二次不等式的求解-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题2.2 一元二次不等式的求解 1. 一元二次不等式 （1） 一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式； （2） 一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集； （3） 同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。 2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)设△=b2-4ac它的解按△＞0，△＜0，△=0可分为三种情况，列表如下： △＞0 △=0 △＜0 二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)的图象 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a＞0)有两根 有两相异实根 x1,x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1=x2=- 无实根 ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3. 一元二次不等式的解法步骤 （1） 对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0； （2） 计算相应方程的根的判别式； （3） 当△＞0时，求出相应的一元二次方程的两根； （4） 根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。 注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。（一看，二算，三写） 4. 含参数的一元二次不等式的解法 （1） 二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论； （2） 解△得过程中，若△表达式含有参数且参数的取值影响△的符号，这时根据△的符号确定的需要，对参数进行讨论； （3） 方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。 5. 不等式的恒成立问题 （1） 结合二次函数的图像和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般用此法； （2） 从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零； （3） 能分离变量的尽量把参数和变量分离出来； （4） 数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。 模块二：强化提高训练 一、单选题（共10小题） 1.已知关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞2}，则a+b的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 2.关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+1＜0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是（　　） A．{a|2＜a≤3} B．{a|3＜a≤4} C．{a|﹣3≤a＜﹣2或2＜a≤3} D．{a|﹣3≤a＜﹣2或3＜a≤4} 3.关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣2＜a≤﹣1或3≤a＜4 B．﹣2≤a≤﹣1或3≤a≤4 C．﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4 D．﹣2＜a＜﹣1或3＜a＜4 4.不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a﹣b等于（　　） A．﹣4 B．14 C．﹣10 D．10 5.一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+bx+c≥0的解集为（　　） A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|x＜﹣1或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2 } 6.关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0]∪[2，3） B．[﹣2，﹣1）∪（3，4] C．[﹣1，0）∪（ 2，3] D．（﹣2，﹣1）∪（3，4 ） 7.已知关于x的不等式ax2﹣2x+3a＜0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围是（　　） A．（-∞，） B．（-∞，） C．（，+∞） D．（，+∞） 8.若不等式x2﹣ax+1≤0和ax2+x﹣1＞0对任意的x∈R均不成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[-,2) B．（-∞，-）∪[2,+∞) C．[-2,-) D．(-2,-] 9.已知不等式x2﹣ax+a﹣2＞0的解集为（﹣∞，x1）∪（x2+∞），其中x1＜0＜x2，则x1+x2+ +的最大值为（　　） A． B．0 C．2 D．- 10.已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣x﹣a＞0的解集