专题13 导数在解决实际问题中的应用-备战2022年高考数学核心考点专题训练

备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题13 导数在解决实际问题中的应用 一、单选题 1. 某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加元，如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数，若种植2万斤，利润是万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕 A. 8万斤 B. 6万斤 C. 3万斤 D. 5万斤 【答案】B 【解析】解：设销售利润为，得 ， 当时，，解得． ， ， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 故选B．   2. 第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时x值为 A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得 则． 令，解得． 当时，； 当时，， 故当时，y有最小值． 因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低． 故选A．   3. 如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值： ， ， ， 求导： ，令， ， ， ， ， 当，圆柱的体积有最大值， 圆柱体积的最大值是： 故选：A．   4. 设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：曲线上任一点处切线斜率为， ， 则函数， 设， ， 为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、 令，得，排除D． 故选C．   5. 一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h， 则，， 窗户的周长， ，由，得， 时，，时，， 当时，L取最小值， 故选C．   6. 如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示， 则正六棱柱的底面边长为，高为 ， 所以正六棱柱的体积          ， 则  ． 令，得 舍去或 ． 当 时，；当 时，． 故当 时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为 ． 故选B．   7. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：四棱锥如图， 设底面正方形边长的一半为x， 则有， ． 设， 则， 由，可得舍或或舍． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故当时，． 故选：A． 8. 传说西游记中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“定海神针”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为至之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“定海神针”的底面半径为，长度为。在此基础上，孙悟空使“定海神针”的底面半径以每秒匀速缩短，同时长度以每秒匀速增长，且在这一变化过程中，当“定海神针”的底面半径为时，其体积最大，此时“定海神针”的长度d为    A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】A 【解析】解：依题意，设变化时间为x，变化过程中，其底面半径为，长度为， 可得， 由可得 ， 令可得舍或， 金箍棒底面半径为7cm时，其体积最大． 故为的一个极大值点，， ． 故选A．   9. 已知，，且对恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设， 可得， 当时，，递增，无最小值； 当时，时，，递增；时，，递减， 可得处，取得最小值， 由对恒成立，可得， 则， 设，， 当时，，递减；当时，，递增， 可得处，取得最大值． 即有的最大值为． 故选：B． 10. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加元如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数，若种植2