专题12 利用导数研究闭区间上函数的最值-备战2022年高考数学核心考点专题训练

备战2022年高考数学核心考点专题训练 专题12 利用导数研究闭区间上函数的最值 一、单选题 1. 已知函数，其导函数为偶函数，，则函数在区间上的最小值为 A. B. C. e D. 2e 【答案】B 【解答】解：， 要使导函数为偶函数，则， 故， 则，解得， 所以， 故，， 当时，，当时，． 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为． 故选B．   2. 已知函数，若且，则的最小值为    A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】解：因为函数且， 所以，则， 所以， 设，则， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，函数取得最小值为， 即的最小值为3． 故选B．   3. 某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加元，如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数，若种植2万斤，利润是万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕 A. 8万斤 B. 6万斤 C. 3万斤 D. 5万斤 【答案】B 【解析】解：设销售利润为，得 ， 当时，，解得． ， ， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 故选B．   4. 已知函数，，实数m，n满足，若，，使得成立，则的最大值为 A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】， 所以当时，递减；当时，递增． 所以在区间上，的最小值为． ，故在时取得最大值． 画出和图象如下图所示，令，解得或． 依题意，实数m，n满足，若，，使得成立， 由图可知，的最大值为． 故选A 5. 已知函数，下列结论不正确的是 A. 在上单调递增，在上单调递减 B. 的图象在点处的切线方程为 C. D. 在上有最大值 【答案】C 【解析】解：， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减，故A正确， ，故D正确， 的图象在点处的切线方程为： ， 即，故B正确， ，， 因为， 所以，故C错误． 故不正确的是C， 故选：C．   6. 设函数，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：令，， 因为仅存在一个整数，使得， 所以仅有一个整数，使得， 因为，所以为偶函数， 当时，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当，，当，， 由偶函数的性质可得当时，在上单调递减，在上单调递增，  ，当，，当，， ，恒过定点，且， 作出图象，由图象可得满足条件的整数为， 所以，即，解得， 即实数a的取值范围是 故选：C．    7. 已知函数，下面描述正确的是 A. 在R上单调递增 B. 无极值点 C. 当时，函数在上有最小值e D. 若对任意恒成立，则 【答案】D 【解析】解：， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增，所以A错； 有极小值，无极大值，所以B错； 当时，在上单调递增，所以，所以C错； 在上最小值为，，，D正确． 故选D．   8. 已知函数，，对于任意且，都有，则实数a的最大值是  A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】解：因为对于任意且，都有， 所以与的单调性相同， 又因为单调递增， 所以也单调递增，且， 因为是增函数， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 故单调递增， 所以 故， 所以a的最大值为． 故选C．   9. 第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时x值为 A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得 则． 令，解得． 当时，； 当时，， 故当时，y有最小值． 因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低． 故选A．   10. 已知定义域为的函数满足，且，e为自然对数的底数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由，得． 设，， 则，从而有． 又因为，所以，，， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为不等式恒成立，所以， 即，又因为，所以   二、单空题 11. 若函数在上的最大值为，则a的值为________． 【答案】 【解析】解：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，，不合题意． ，， 经检验满足题意． 故答案为．   12. 已知函数在其图象上任意一点处的