专题36 空间向量的概念与运算-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题36空间向量的概念与运算--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算. 二、教学建议 （1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （3）应用空间向量解决立体几何问题. 三、自主梳理 知识点一 空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 知识点二 数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 【特别提醒】 1．空间向量基本定理的几点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．有关向量的数量积的提醒 (1)若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·ca＝c. (2)数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 3．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一 【知识必备】 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)＝λ (λ∈R); (2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1) ＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3) ∥ (或∥或∥ )． 四、高频考点+重点题型 考点一、空间向量的线性运算 例1-1.（向量的三角形法则、平四法则、数乘） （2021·山东青岛模拟）如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点． 试用向量，，表示； 解：设＝a，＝b，＝c. 由题图得＝＋＋＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋. 例1-2．（向量共面定理） （2021·全国）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点是否在平面内. 【答案】（1）共面；（2）点在平面内. 【解析】 （1）由向量的线性关系可得，由向量减法有，由空间向量共面定理，知共面. （2）由（1）结论，有四点共面，即可知在平面内. 【详解】 （1）由题意，知：， ∴，即， 故共面得证. （2）由（1）知：共面且过同一点. 所以四点共面，从而点在平面内. 例1-3.（已知向量表示目标向量） （2021·湖北）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1) ·； (2) ·. 【解析】设＝a，＝b，＝c. 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)·＝(＋＋)·(－) ＝·(－