山西省运城市康杰中学2021-2022学年高二上学期入学测试数学试题

康杰中学2021—2022学年度高二入学测试 数 学 试 题 2021.8 一､单项选择题（本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2. 已知平面向量 ，且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 4. 在 中，内角 的对边分别是 .若 ， ，则 等于(　　) A． B． C． D． 5. 在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 6. 如图①所示，在平面四边形 中， ， ， ， ．现将 沿 折起，并连接 ，如图②，只当三棱锥 的体积最大时，其外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 7. 在 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， 边上的高等于 ，则以下四个结论错误的是（ ） A． B． C． D． 8. 如图，直四棱柱 的底面是边长为2的正方形， ， ， 分别是 ， 的中点，过点 ， ， 的平面记为 ，则下列说法中错误的是（ ） A．点 到平面 的距离与点 到平面的距离之比为1:2 B．平面 截直四校柱 所得截面的面积为 C．平面 将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25 D．平面 截直四棱柱 所得截面的形状为四边形 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9. 下列命题正确的是（ ） A． B．若 ，则 ， ， ， 四点共线 C．任意向量 ， D．若向量 ， 满足 ，则 ， 共线 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为 ， 为顶点， ， 为底面圆周上两个动点，则（ ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面 的面积的最大值为 D．从点 出发绕圆锥侧面一周回到点 的无弹性细绳的最短长度为 11. 对于 ，有如下命题，其中正确的有（ ） A．若 ，则 是等腰三角形 B．若 是锐角三角形，则不等式 恒成立 C．若 ，则 为钝角三角形 D．在 中，若 ，三角形面积 ，则三角形的外接圆半径为 12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面 体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 ，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ） A．与AB所成的角是60°的棱共有8条 B．AB与平面BCD所成的角为30° C．二面角 的余弦值为 D．经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为 三､填空题（本题共4小题，每题5分，共20分) 13. 设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 ____． 14. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量的模为________． 15. 如图，在平行四边形 中， ， ，点 为对角线 与 的交点，点 在边 上，且 ，则 ________.（用 ， 表示） 16. 在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC， B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1. 18. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知asin ＝bsin A. （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的 正弦值的最大值． 20. （本小题满分12分）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， . （1）证明： ； （2）若 ，求