1.2常用逻辑用语 1.2.1命题与量词（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 知识梳理.命题与量词 1.命题 概念：可供真假判断的陈述语句是命题，而且， 判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 2.量词 （1）全称量词和全称量词命题 ①全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个” “一切”“ 任给”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示． ②全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． （2）存在量词和存在量词命题 ①存在量词：“存在”“有”“至少有一个” “有些”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示． ②存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 【例1】判断下列命题的真假： (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 【答案】 (1) 真命题 (2) 假命题 (3) 是真命题 (4) 假命题 【解析】 (1)奇数都不能被2整除，故(1)是真命题． (2)0的平方还是0，不是正数，故(2)是假命题． (3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝1，b＝1，故(3)是真命题． (4)当x＝4，y＝5时，y＝x＋1也成立，故(4)是假命题． 【例2】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 【答案】(1) 全称量词命题 (2) 全称量词命题 (3) 全称量词命题 (4) 存在量词命题 (5) 存在量词命题 【解析】 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题． 题型一. 命题真假的判断 考点1.一般命题的真假 1．下列语句中命题有_______个其中真命题有_______个 ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”； ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”； ③“一个数不是正数就是负数”； ④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”； ⑤“x+y为有理数，则x、y也都是有理数”； ⑥“作△ABC∽△A1B1C1”． A．2，0 B．4，2 C．3，2 D．4，3 【答案】A． 【解析】解：①是一个反问句，不是命题， ②是一个疑问句，不是命题， ③符合命题的定义，是命题；是一个假命题 ④是一个感叹句，不是命题． ⑤符合命题的定义，是命题； ⑥是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； 故选：A． 2．下列命题正确的是（　　） A．很小的实数可以构成集合 B．自然数集N中最小的数是1 C．集合{y|y＝x2﹣1}与{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合 D．空集是任何集合的子集 【答案】D． 【解析】解：A、很小的实数不具有确定性，则不能构成集合，故本选项错误； B、自然数集N中最小的数是0，故本选项错误； C、集合{y|y＝x2﹣1}表示函数的值域；集合{（x，y）|y＝x2﹣1}表示函数图象上的点集，不是同一个集合，故本选项错误； D、由空集的性质知，空集是任何集合的子集，故本选项正确． 故选：D． 考点2.全称、存在量词命题的真假 1．下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（　　） A．π是无理数 B．∃x0∈N，使2x0为偶数 C．对任意x∈R，都有x2+2x+1＞0 D．所有菱形的四条边都相等 【答案】D． 【解析】解：对于A，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意， 对于B，∃x0∈N，使2x0为偶数，不是全称量词命题，不符合题意， 对于C，对任意x∈R，都有x2+2x+1＞0，是全称量词命题， 但当x＝﹣1时，x2+2x+1＝0，为假命题，不符合题意， 对于D，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意， 故选：D． 2．（多选）下列存在量词命题是假命题的是