考向10 三角恒等变换-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向10 三角恒等变换 一、单选题 1．（2021·北京高考真题）函数 是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数， 又 ， 所以当 时， 取最大值 . 故选：D. 2．（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 3．（2021·浙江高考真题）已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得 ，从而可判断三个代数式不可能均大于 ，再结合特例可得三式中大于 的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有 ， 同理 ， ， 故 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设 ，则 ， 由排列不等式可得： ， 而 ， 故 不可能均大于 . 取 ， ， ， 则 ， 故三式中大于 的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 4．（2017·上海高考真题）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为 上的动 点， 为 上的动点， 是 的最大值. 记 在 上， 在 上，且 ，则 中元素个数为 A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个 【答案】D 【详解】椭圆 和 ， 为 上动点， 为 上动点， 可设 ， ， 则 ， 当 时， 取得最大值 ， 则 在 上， 在 上，且 中的元素有无穷对，故选D. 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”. (1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 解两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝.·cos(α－φ)或f(α)＝sin(α＋φ) [名师提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.cos2α＝.，sin2α＝ 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝.sin 一、单选题 1．（2020·全国高三其他模拟）若实数 ， 满足 则 （ ） A．存在最小值0，存在最大值 B．存在最小值0，不存在最大值 C．不存在最小值，存在最大值 D．不存在最小值，存在最大值1 【答案】C 【分析】根据不等式组做出平面区域，然后通过平移判断目标函数的最值情况. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(不包含 轴). 令 ，则 ，作出直线 并平移， 可知当平移后的直线经过点 时， 取得最大值 ，经过点 (0，0)时， 最小，但由于平面区域不包含原点 ，所以 不存在最小值. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：约束条件中的 是本题的关键点，将 转化成直线时需对 的正负及 进行讨论. 2．（2020·广东揭阳市·高三期中（文））若点 在直线 上，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知 ，故 ，进而根据二倍角公式构造齐次式求解即可得答案. 【详解】解:因为点 在直线 上， 所以 ，所以 ， 所以 . 故选：A 3．（2021·广东深圳市·高三月考）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求得 ，由此化简所求表达式，从而求得正确结论. 【详解】依题意 ， 即 ， 化简得 ， . 故选：C 4．（2020·陕西高三其他模拟（文））已