专题1.4 常用逻辑用语-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题1.4 常用逻辑用语 板块一：知识概括 1、命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 命题有题设和结论两部分组成命题有：题设：已知事项，结论：由已知事项推出的未知事项，常写成“如果……，那么……”的形式. 用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论． 2、 判断为正确的命题称为真命题；判断为错误的命题称为假命题． 3、 充要条件 (1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件． (3)p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价． “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 4、反证法 (1)一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. (2).“反证法”的解题步骤： ①提出反设（否定结论）； ②推出矛盾（与已知、假设、定义、定理、公理、事实矛盾，这是关键的一步）； ③否定假设，肯定结论. (3)反证法一般应用于证明“结论含有否定词、至多、至少、唯一性”的问题. 板块二：典例分析 题模一：命题 例1.1下列语句中，不是命题的是（ ） A．内错角相等 B．如果a+b=0，那么a、b互为相反数 C．已知a2=4，求a的值 D．玫瑰花是红的 【答案】C 【解析】A，B，D都是判断一件事情的语句，并且由题设和结论构成．C不是判断一件事情的语句． 例1.2在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：____． 【答案】同位角相等 【解析】本题主要考查命题的基本概念与组成，比较简单．注意命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 由命题的题设的定义进行解答．命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 命题中，已知的事项是“同位角相等”，所以“同位角相等”是命题的题设部分． 故答案为同位角相等． 例1.3把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式__________________． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 【解析】该题考查的是命题的书写． 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式为，如果两条直 线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行． 类型二：充要条件 一、充分条件的判断 例2.1　(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 答案　③ 解析　 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． (2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件． 答案　充分 解析　由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， ∴是充分条件． 反思感悟　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 跟踪训练1　“x>2”是“x2>4”的________条件． 答案　充分 解析　x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件． 二、必要条件的判断 例2.2　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 解　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 反思感悟　(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 跟踪训练2　分析下列各项中p与q