专题22.10 一元二次方程根的判别式（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（华东师大版）

专题22.10 一元二次方程根的判别式（拓展提高） 一、单选题 1．关于 的一元二次方程 无实数根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：Δ＜0， ∴16-4m＜0， ∴m＞4 故选A 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 2．若关于x的方程kx2+（k+2）x+ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1 【答案】A 【分析】分k＝0和k≠0两种情况，然后确定k的公共部分即为所求． 【详解】解：当k＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0； 当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣4k• ≥0，解得k≥﹣1， 所以实数k的取值范围是k≥﹣1． 故A． 【点睛】本题主考查了根的判别式的应用，分k＝0和k≠0两种情况是解答本题的关键，也是解答本题的易错点． 3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0 【答案】D 【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围． 【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0， 解得：a＞﹣1且a≠0， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0． 4．若关于x的不等式组 有且只有五个整数解，且关于y的方程 有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A．25 B．13 C．22 D．17 【答案】D 【分析】先根据不等式组的解集的情况求得 的范围，再根据一元二次方程的定义以及根与系数的关系确定 的范围，最后求符合条件的所有整数a的和． 【详解】 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 不等式有且只有五个整数解， ， ， 解得 ， 关于y的方程 有两个实数根， 且 ， 解得 且 ， 且 ， 为整数， ，其和为 ， 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 5．对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个很，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 ． 其中正确的（ ） A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①若 ，则 是方程 的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： ，故①正确； ②方程 有两个不相等的实根， ， ， 则方程 的判别式 ， 方程 必有两个不相等的实根，故②正确； ③ 是方程 的一个根， 则 ， ， 若 ，等式仍然成立， 但 不一定成立，故③不正确； ④若 是一元二次方程 的根， 则由求根公式可得： ，， ， ，故④正确． 故正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，灵活运用根的判别式是解题的关键． 6．在 这六个数中，随机取出一个数记为 ，那么使得关于 的一元二次方程 有解，且使得关于 的方程 有整数解的所有 的值之和为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使得关于 的一元二次方程 有解，利用根的判别式求出符合条件的值，再解方程 ，解出a的可能值，最终综合选择满足所有条件的a的值，然后求它们的和即可． 【详解】解：要使得关于 的一元二次方程 有解， 则Δ≥16-4×（-2a）≥0， 解得a≥-2, ∴a的可能值为-2，-1、0、1、2， 解 可得， ， 使得方程有整数解满足条件的a的值为0、2， 综上所述满足条件的a的值为0、2， 0+2=2， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及分式方程，灵活运用根的判别式以及熟练求解分式方程是解题的关键． 二、填空题 7．已知 是正整数，关于 的方程 有正整数根，则方程的解为：______． 【答案】 【分析】根据方程有根，利用根的判别式求出 的取值范围，再进行分类讨论． 【详解】解： 有正整数根， ， 解得： ， 是正整数， 或 ， 当 时， ， 解得： ，故不是正整数，不符合题意； 当 时， ， ， ，符合题意； 方程的解为： ， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据根的情