专题22.8 解一元二次方程—公式法（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（华东师大版）

专题22.8 解一元二次方程—公式法（拓展提高） 一、单选题 1．用公式法解方程 时，需要先判断 是否为非负数，其中a，b，c分别是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解： ， a=3，b=-2，c=3． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 2．用公式法x＝ 解一元二次方程3x2+5x﹣1＝0中的b是（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般式，一次项的系数即为b． 【详解】3x2+5x－1=0中的b=5， 故选：A． 【点睛】本题主要考查公式法解一元二次方程，熟记公式中a、b、c的意义是解题关键． 3．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　） A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案． 【详解】解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ， ∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根， ∴a＝ ， ∵1＜ ＜2， ∴2＜ ＜3， 即1＜a＜ ． 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 4．如果 和 是非零实数，使得 和 ，那么 的值是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合2个式子可得 ，分 与 两种情况讨论，求出 的值，由 ，求出 的值，相加即可得答案． 【详解】解：根据题意， 则 ， 又由 ， 则有 ， 因为x和y是非零实数，分2种情况讨论： ①当 时，由 得到： ， 变形可得： ，无解； ②当 时，由 得到 ， 变形可得： ， 解可得： 或 ，（舍） 综合可得： ，则 ， ； 故选择：D． 【点睛】本题考查超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程解法，掌握超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程的解法，关键是消y后分类讨论． 5．《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ，则该方程的正数解为 ．”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为 ，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可． 【详解】 解：如图2，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ， ∴该方程的正数解为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键． 6．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得 ，代入 即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ， ， ∴ = = = = = ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴原式= ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 二、填空题 7．在实数范围内分解因式： ______． 【答案】 【分析】首先根据 求出方程的两个根，然后即可分解因式． 【详解】令 , ∴ , , 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查因式分解，根据方程求出两个解是关键． 8．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为_____． 【答案】-1 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算． 【详解】解：由题意得m-1=2，16+4n=0， 解得m=3，n=-4， ∴ =3-4=-1， 故答案为：-1． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义及利用根的情况求未知数的值，熟记一元二次方程的定义及根的三种情况是解题的关键． 9．对于实数m，n，定义运算m⊗n＝mn2﹣n．若2⊗a＝1⊗（﹣2）则a＝___________． 【答案】2或 ． 【分析】根据题意，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：根据定义，2⊗a＝1⊗（﹣2）转化为：2a2﹣a=1×（﹣2）2﹣（﹣2）, 解方程得，a1=2，a1= ， 故答案为：2或 ． 【点睛】