专题十五 空间向量与立体几何-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题十五 空间向量与立体几何 第I卷（选择题） 一、单选题 1．如图，正方体，中，M，E，F，G，H分别为，，，，BC的中点，则（ ） A．平面ACM B．平面ACM C．平面ACM D．平面ACM 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】 解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，，则，，，，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，因为， ，，，所以，又面，所以面，故C正确，A、B、D错误； 故选：C 2．已知空间四点，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】 由题意得，， 所以 ， 所以， 故选：A 3．已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则与所成的锐角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】 利用面面夹角公式求得与的夹角. 【详解】 设与所成的角为θ，且0°<θ<90°， 则. 故选：B 4．在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值. 【详解】 取的中点．则．因为且．所以四边形是矩形，所以．因为且，所以平面． 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则取，得. 设直线与平面所成角为，则． 故选：A 5．如图，空间四边形中，，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据，再由，，得到，求解. 【详解】 因为， 又因为， 所以. 故选：A 6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）． A． B． C． D．与相交 【答案】B 【分析】 判断与的位置关系，进而可得出结论. 【详解】 ， 由已知可得，则，因此，. 故选：B. 7．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）． A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】 由题意画出平行六面体的图形，利用向量加法的三角形法则和空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】 ∵， ∴ ∴，即AC1的长为. 故选：B 8．如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（ ） ①; ②;③; ④;⑤;⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】 根据空间向量的加法的的三角形法则或平行四边形法则，并结合长方体的棱的关系，逐一进行运算化简，然后判断． 【详解】 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 所以①②③④⑤⑥都正确， 故选：. 9．已知点在基底下的坐标是(8，6，4)，其中，则点在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量的坐标的定义列关系式，由此可求向量在基底下的坐标. 【详解】 ∵ 在基底下的坐标为， ∴ ， ∴ 在基底下的坐标为， 故选：A. 10．已知是空间直角坐标系中，轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标（ ） A．是 B．是 C．是 D．不确定 【答案】D 【分析】 结合空间向量的坐标运算法则运算即可. 【详解】 由只能确定向量． 而向量的起点A的坐标未知， 故终点的坐标不确定． 故选：D 11．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】 根据，，，，代入计算即可得出结果. 【详解】 解：，分别是对边，的中点， ，. 点在线段上，且分所成的定比为， . . 即，，. 故选：D. 12．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（ ） A．0个 B．3个 C．6个 D．9个 【答案】B 【分析】 根据相等向量的定义判断. 【详解】 由图形可知，. 故选：B 13．如图所示，分别是四面体的边的中点，是线段的一个三等分点（靠近点），设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 连接,先求出，再进一步化简即得解. 【详解】 如图所示，连接, ∵，， 所以，，， ∴ . 故选：C. 14．设：，，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义以及空间向量基本定理即可求解. 【详