专题十三 简单几何体的结构特征、表面积与体积-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题十三 简单几何体的结构特征、表面积与体积 第I卷（选择题） 一、单选题 1．《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意结合柱体的体积公式可知高没变，底面积变为一半，而底面是等腰直角三角形，从而可求出边长间的关系，进而可求得答案 【详解】 水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半， 因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的， 所以水面高度占AB的， 故选：C. 2．2021年7月18日18时至21日0时，郑州出现罕见持续强降水天气过程，全市普降大暴雨､特大暴雨，累积平均降水量449毫米，给郑州市带来重大的财产损失和人员伤亡.一般气象学上定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】 计算出圆锥体积, 除以圆面的面积即可得降雨量, 即可得解. 【详解】 由题意,一个半径为的圆面内的䧏雨充满一个底面半径为 ,高为的圆锥, 所以积水厚度,属于中雨. 故选：. 3．四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设底面长和宽分别为,利用四棱锥的体积求得，结合基本不等式求得外接球直径的最小值，由此求得外接球体积的最小值. 【详解】 设底面长和宽分别为、，，即，四棱锥外接球的直径，当且仅当时，上式取等号，即， 故四棱锥的外接球的体积最小值为. 故选：D 4．已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知条件求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积. 【详解】 设圆柱的高为，则， 所以圆柱的体积为. 故选：A 5．某几何体由圆柱的部分和一个多面体组成，其三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先根据三视图还原几何体，然后结合圆柱和三棱柱的体积公式即可求出结果. 【详解】 根据三视图还原几何体，如图： 所以该几何体的体积为， 故选：D. 6．已知球内有一圆锥，圆锥的顶点及底面圆周在球面上，且球的半径与圆锥底面圆的半径的比值为，则球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】 根据圆锥的高与球的半径间的关系进行分类讨论，由此求得正确结论. 【详解】 设球的半径为，圆锥底面圆的半径为， 当圆锥的高大于时： ， 当圆锥的高小于时： ． 依题意可知圆锥的高不等于. 故选：C 7．中，，.以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 如图，以为旋转轴，边，旋转一周形成的图形为以AD为母线的圆锥，中间挖掉一个共底面以BD为母线的圆锥，则以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积即为圆锥AD和圆锥BD的侧面积，分别求出两个圆锥的侧面积即可得解. 【详解】 解：如图，以为旋转轴，边，旋转一周形成的图形为以AD为母线的圆锥，中间挖掉一个共底面以BD为母线的圆锥， 则以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积即为圆锥AD和圆锥BD的侧面积， 中，，， 则，又，所以， 在中，， 则圆锥AD的侧面积为， 圆锥BD的侧面积为， 所以以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为. 故选：C. 8．八角红楼是某校现址上最早的教学大楼，她是一座三层的教学楼，中间是四层的八角楼，也是该校最具历史意义的一幢建筑.“以八角红楼为标志，绿树红墙，借锡惠、运河之景，形成大气、优美之校园环境”是该校校园的整体规划指导思想，因此在此后的综合教育楼等校园建筑的设计中，大多都以坡屋顶、八角顶和八角红楼相呼应，形成了现在该校校园建筑的整体风格，给无数校友和国内外来宾留下了深刻的印象，为迎接建党100周年及110年校庆，学校考虑更换楼项红瓦，考虑到拼接重叠、各种可能的其他损耗及后期维护需要，准备按楼顶面积的1.5倍准备红瓦，八角红楼的楼顶可近似看成正八棱锥，正八棱锥的底面边长约为2m，高约为m.已知红瓦整箱出售，每箱50片，每片规格为20cm×30cm，则学校至少需要采购红瓦（ ） A．10箱 B．11箱 C．12箱 D．13箱 【答案】B 【分析】 根据正八棱锥的底面为正八边形，侧面为8个全等的