专题十二 数列的综合问题-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题十二 数列的综合问题 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列{An}中，A1＝2，Am＋n＝AmAn.若Ak＋1＋Ak＋2＋…＋Ak＋10＝215－25，则k＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】 先求得数列的通项公式，根据等比数列前项和公式列方程，化简求得的值. 【详解】 令m＝1，则由Am＋n＝AmAn，得An＋1＝A1An，即＝A1＝2，所以数列{An}是首项为2，公比为2的等比数列，所以An＝2n，所以Ak＋1＋Ak＋2＋…＋Ak＋10＝Ak(A1＋A2＋…＋A10)＝2k×＝×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4. 故选：C 2．已知数列是等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设数列的公差为d，分别表示出，，，验证C；然后分别解出，验证ABD是否正确即可. 【详解】 设数列的公差为d， 则，，， 因此，故C正确； ，，不满足，故A错误； ，，故B错误； ，，则，故D错误； 故选：C 3．已知数列中，，，若其前项和为，则的最大值为（ ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【分析】 由递推公式求出数列的通项公式，再求其前n项和，并确定其最大值. 【详解】 ∵ ，， ∴ 数列为首项为25，公差为的等差数列， ∴ ， ∴ 数列的前n项和， ∴ 时，取最大值，最大值为169.， 故选：C. 4．正数数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题设求出、、，并猜想的通项公式，再利用数学归纳法证明，进而判断各选项的正误. 【详解】 由题设，当时，得， 当时，，整理得， ∴； ，整理得， ∴； 猜想：，由时，符合题设， 假设时，， 则时，， ∴，整理得， ∴也成立，故，成立. ∴，易知A、B错误； ，，故C错误，D正确. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：应用数学归纳法证明猜想的通项公式，进而判断各项正误. 5．已知是公比不为1的等比数列，为的前项和，若，，成等差数列，则（ ） A．，，成等比数列 B．，，成等比数列 C．，，成等差数列 D．，，成等差数列 【答案】C 【分析】 由题设，易得，结合等比数列前n项和公式可得，即知，，为等差数列. 【详解】 由题设，，即，化简， ，， ∴， ∴，，成等差数列. 故选：C 6．已知数列中，，且（），则（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题可得数列奇数项、偶数项分别为等比数列，进而可求通项公式即解. 【详解】 ∵，, ∴，得， 由，，得， ∴数列是等比数列，首项为2，公比为2， ∴； 同理得数列是等比数列，首项为2，公比为2， ∴； ∴． 故选：D. 7．已知数列是单调递增数列，且.若，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】 由已知可得，即是首项为，公差为2，项数为k的等差数列，由等差数列求和公式代入可得，由，整理得，代入检验即可得解. 【详解】 ，，两式相减可得： 所以数列是隔项成等差数列， 所以是首项为，公差为2，项数为k的等差数列， 则，即， 又，，即 ， 即，代入检验即可知满足. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查数列的通项公式，及等差数列求和公式，熟练应用数列的性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于一般题. 8．数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为.若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 利用等比数列，求出通项，利用求和公式求得，代入即可得解. 【详解】 由数列是首项为1，公比为2的等比数列， 由，得，即，， 故选：D. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由递增数列的定义可推出的取值，然后利用充分不必要条件的概念可得. 【详解】 若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0， ∴ 即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立， 于是有， ∵由可推得， 但反过来，由不能得到， 因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 10．若数列是等差数列，其前项和为，若，且，则等于（ ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】 由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，再由前项和求即可. 【详解】 设等差数列的公差为， 则解得： ， 所以， 故选：B. 11．已知是等比数列，，，则（ ） A．