专题十 平面向量与复数-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题十 平面向量与复数 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】 建立适当的坐标系，然后用向量数量积公式得，最后用线性规划的知识求得最大值. 【详解】 如图，以为坐标原点，所在的方向为轴正方向，建立直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，， 所以， 由直线：，直线：， 因为点在边上及其内部运动，由线性规划可得， 当点与重合时，取值最大为. 2．已知向量，，，则x的值为（ ） A． B．－1 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】 根据向量垂直，则向量数量积等于0，从而求得未知数. 【详解】 由题知， 解得x=2， 故选：C 3．设与是两个不共线的向量，，，，若共线，则的值为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】 根据列方程，由此求得正确结论.. 【详解】 依题意， ， 由于共线，， 所以. 故选：D 4．已知正三角形的边长为，是边上的动点含端点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 如图建系，求得各点坐标，即可得的表达式，根据x的范围，即可得答案. 【详解】 以BC中点O为原点，BC所在直线为x轴，OA为y轴建系，如图所示： 所以，设， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：D 5．已知是所在平面内的一点，若|，则一定为（ ） A．以为底边的等腰三角形 B．为底边的等腰三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．以为斜边的直角三角形 【答案】C 【分析】 根据向量的线性运算，先得到，再由向量数量积的运算，化简整理，即可得出结果. 【详解】 由得， 则， 所以，则， 所以，则， 所以是以为斜边的直角三角形. 故选：C. 6．已知为单位向量，且满足，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】 利用平方的方法化简已知条件，由此求得，进而求得. 【详解】 由两边平方得， 所以. 故选：B 7．设向量，且，则实数（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求得的坐标，根据，可得，根据数量积的坐标公式，即可求得答案. 【详解】 由题意得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：D 8．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 【答案】A 【分析】 由与的数量积判断. 【详解】 因为， 所以， 故选：A 9．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 利用平面向量数量积的运算性质及运算律可判断①③，利用数乘向量的结合律可判断②，利用数量积的意义及相等向量判断④作答. 【详解】 由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确； 因，③正确； 都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不一定相等，④不正确. 故选：D 10．已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接交于点，且满足，，，则（ ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】 因为，，三点共线，故可考虑将用表示，再结合三点共线满足的性质计算即可 【详解】 因为， 所以. 因为，，故, 所以. 因为，，三点共线，所以，，所以. 故选：D 11．下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【分析】 由平面向量的相关概念判断. 【详解】 A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确； B.规定零向量与任意向量都平行，故错误； C.平行向量就是共线向量，故正确； D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确； 故选：B 12．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件可求出，根据进行数量积的运算可求出的值，然后即可求出与夹角的余弦值． 【详解】 ∵，，， ∴， ， ∴． 故选：A． 13．复数，则在复平面内，对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先通过复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为， 所以在复平面内，对应的点的坐标是. 故选：C 14．若复数满足，则的虚部是（ ） A． B． C．-6 D．6 【答案】D 【分析】 由条件求复数的代数形式，根据复数的虚部的定义求的虚部. 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ 复数的虚部为6， 故选：D. 15．若，则（ ） A．