专题八 三角函数变换与三角函数的应用-2022届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题八 三角函数变换与三角函数的应用 第I卷（选择题） 一、单选题 1．中，，，则（ ） A． B． C． D．-11 【答案】C 【分析】 由已知求得，再由两角和的正切求，再由二倍角的正切求解． 【详解】 在中，∵，∴， 则，又， ∴， ∴． 故选：C 2．已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据降幂公式与和差角公式化简可得，再平方求解即可 【详解】 因为，所以，因为，所以，所以，所以，两边平方可得，所以， 故选：D． 3．如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ） A．18m B．20m C．24m D．30m 【答案】C 【分析】 过A作于E，则，设，利用两角和的正切公式可建立关于的关系式，即可解出． 【详解】 如图，过A作于，设， ∵，记，则， 在中，, ∴, 在中，, ∴, ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m. 故选：C. 4．若点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题知，故，进而根据二倍角公式构造齐次式求解即可得答案. 【详解】 解:因为点在直线上， 所以，所以， 所以. 故选：A 5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】 解:因为，, 所以, 所以 故选:C 6．已知，，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】 由给定条件探求并缩小与的范围，再求出的值即可作答. 【详解】 因，，且，于是得，则， ， 所以. 故选：A 7．化简 的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用给定角的范围确定出与的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得. 【详解】 因，则，且，即有， 所以. 故选：A 8．若，则实数的值为（ ） A．3 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】 根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解. 【详解】 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 故选：A. 9．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先利用二倍角公式化简，再化弦为切，将代入即可求解. 【详解】 ， 故选：D. 10．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先根据角的范围求出，再由求出的值，由同角三角函数基本公式即可求解. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 所， 所以， ， ， 故选：C. 11．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 注意观察已知角与所求角，不难发现，所以，利用诱导公式及二倍角余弦公式化简即可求解. 【详解】 解：因为， 所以 ， 故选：B. 12．函数（）的最大值和最小值是、，则的值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 设，结合辅助角公式化简整理得，利用函数的值域可得，进而转化为关于 的方程的两根的问题，结合韦达定理即可求出结果. 【详解】 设 （*）， 设关于 的方程的两根是， 由韦达定理可得，而不等式的解为： ，即分别是函数的最小值和最大值，, 故选：A． 13．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据已知条件化简可得，根据角的范围，求出，利用和差角展开公式即可求出 【详解】 ，即，由余弦的二倍角公式可得：，因为，所以，所以， 故选：B 14．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出，即得解. 【详解】 由题得， 所以在第三、四象限，又，所以在第四象限， 所以. 所以. 故选：C 15．已知，，则的值可能在下列哪个区间内（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用平方差公式、和差角余弦公式、二倍角正弦公式及诱导公式可得，即可判断其范围. 【详解】 ，又， ∴. 故选：A 二、多选题 16．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．2π是的一个周期 B．方程有无穷多解 C．是偶函数 D．在上是增函数 【答案】AC 【分析】 根据函数的周期与奇偶性的定义即可判断AC选项，然后化简函数解析式，得到分段函数的解析式，即可判断BD选项. 【详解】 因为，所以2π是的一个周期