2.2.3 分式不等式的求解学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

第 2 章　等式与不等式 2.2不等式的求解 2.2.3 分式不等式的求解 【学习目标】 课程标准 学科素养 会将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解 逻辑推理：转化为不等式组 数学运算： 【自主学习】 问题导学 预习教材P40－P42的内容，思考以下问题： 1、分式不等式的特点？2、分式不等式的一般等价解法；3、分式不等式的实际应用； 【知识梳理】 1、分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。 只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。 即：型如 或 （其中 、 为整式且 ）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 2、分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如 的形式； ③同解变形： ； ； ； ； 3、含参数的不等式分为两类： ①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值。 基本方法：对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面：（1） 的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况；（2）讨论含参数的根与其他根的大小关系。 而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可。 【自我尝试】 1、解下列不等式：（1）>1； ≥0；　（2） 1、解：(1)原不等式等价于解得x≤1或x>2，所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}； (2)原不等式可改写为. <x<<0，所以(6x－4)(4x－3)<0，所以＋1<0，即 所以原不等式的解集为. 2、不等式≥5的解集是 2、答案： 解析：原不等式⇔. 解得0<x≤≤0⇔⇔≥ 【题型探究】 题型一、简单的分式不等式的解法 例1、解下列不等式：（1） ；（2） ；（3） ； 【提示】注意：利用不等式性质等价转化； 【解析】（1）原不等式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以，原不等式的解集为 . （2）原不等式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，所以，原不等式的解集为 . （3）分母： ，则 原不等式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或 ，所以，原不等式的解集为 . 【方法归纳】分式不等式的解法：（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零；（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解； 题型二、含参数的分式不等式 例2、关于x的不等式 的解集是{x| <x<1}，求a，b的值。 【提示】注意：等价变形； 【答案】a=4，b=2； 【解析】(注意多种解法）因为x2+x+1= ，x2-x+1= , 所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1)，整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.① 由已知可得当x∈{x| <x<1}时,( x-) (x-1)<0，即2x2-3x+1<0,② 比较①②可知 ；故a=4，b=2； 题型三、分式不等式的简单应用 例3、当 为何值时，关于 的不等式 的解是：（1）正数？（2）是负数？ 【提示】注意：等价变形； 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 （*） 当 时，（*） EMBED Equation.DSMT4 EMBED