2.1.3 不等式的性质（2）学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

： 第 2 章　等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 2.1.3 不等式的性质（2） 【学习目标】 课程标准 学科素养 掌握定理及其推理过程与变形 能够运用均值不等式，证明不等式与求函数或代数式的最值（拓展）； 1、数学抽象：转化为不等式“定理”之结构； 2、逻辑推理：利用不等式性质推导 3、数学运算：计算准确； 【自主学习】 问题导学：预习教材P28－P33的内容，思考以下问题： 1、不等式“定理”的内容是什么？2、可以推导得到哪些变式？ 【知识梳理】 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 1、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数 称为a，b的几何平均值；称为a，b的算术平均值；数 （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立；≥ 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；2、两个不等式a2＋b2≥2ab和≥ （3）均值不等式与最值：已知x＞0，y＞0，则 ①若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； ②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值； 【注意】利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合均值不等式成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立；以上三点缺一不可；≥ 【自我尝试】 1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立；（ ） （2）若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2；（ ） （3）若a>0，b>0，则ab≤；（ ） （4）a，b同号时，≥2；（ ）＋ （5）函数y＝x＋的最小值为2；（ ） 1、答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2、如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　) A．2　 B．2 C．3 D．4 2、答案：D；解析：因为a>0，所以a＋＋2＝2＋2＝4. ＋2≥2 3、不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 3、答案：B解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x－2y>0，即x>2y，故选B. 4、已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________． 4、答案：　 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤. 时，x(1－x)取得最大值时“＝”成立，即当x＝，当且仅当x＝1－x，即x＝＝＝ 【题型探究】 题型一、对“定理”及其变形的理解 例1、给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＝2； ≥2 ＋ ②因为a∈R，a≠0，所以＝4； ＋a≥2 ③因为x，y∈R，xy<0，所以＝－2. ≤－2 ＝－＋ 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ 【提示】由定理及其推导思路； 【答案】D； 【解析】从均值不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确； ， ②因为a∈R，a≠0不符合均值不等式成立的条件，所以＝4是错误的； ＋a≥2 ③由xy<0得均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确；，看成一个整体提出负号后，＋均为负数，但在推导过程中将， 【方法归纳】均值不等式(a≥0，b≥0)的两个关注点： ≥ （1）不等式成立的条件：a，b都是非负实数；（2）“当且仅当”的含义：①当a＝b时，⇒a＝b。 ＝的等号成立，即≥；②仅当a＝b时，＝的等号成立，即a＝b⇒≥ 题型二、利用定理”及其变形比较大小 例2、已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（ ） A．a＋b≥2≥ D. ≥2≥2 C. ＋ B. 【提示】注意：“定理”的结构； 【答案】D 【解析】由＝2，∴B成立； ≥2＋，∴A成立；∵得a＋b＝2≥ ∵，∴D不一定成立． ＝≤，∴C成立；∵＝2≥ 【方法归纳】在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件；运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的