2.1.3 不等式的性质（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

2.1.3 不等式的性质 第二章 等式与不等式 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 掌握判断两个实数大小关系的充要条件，能用其证明一些不等式的性质及较简单的不等式. 通过类比等式性质，得出不等式的基本性质并予以证明，会利用不等式的基本性质证明部分常用性质及一些较简单的不等式，发展逻辑推理素养. 会运用不等式的性质，推导不等式的其他常用性质，会用作差判断符号的方法来比较两个代数式值的大小，逐步学会符号化的表示，加深抽象的层次 4 能利用作差比较的方法证明常用不等式，并会运用该常用不等式证明其他不等式. 课题引入 新知探究 不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________. 不等式　 新知探究 问题1 你能用不等式表示下列问题中的不等关系吗？ （1）今天的天气预报说：明天的最低温度为11℃，最高温度为18℃； （2）三角形ABC两边之和大于第三边； （3）a是一个非负实数. 11≤x≤18. a+b>c a≥0 新知探究 问题2 如何确定两个实数的大小关系？ 对于两个实数a、b， 如果a-b是正数，就称a大于b，记为a>b； 如果a-b是负数，就称a小于b，记为a<b； 如果a-b是零，就称a等于b，记为a=b. 新知探究 判断两个实数大小的充要条件是： 新知探究 问题3 请回顾等式性质有哪些？ 1.如果a＝b，b＝c，那么 . 2.如果a＝b，那么a±c＝b±c. 3.如果a＝b，那么ac＝bc. a＝c 新知探究 问题4 类比等式的传递性和加法性质，请猜想不等式中类似的基本性质. (1)传递性 设a、b、c均为实数，如果a>b,且b>c,那么a>c. (2)加法性质 设a、b、c均为实数，如果a>b,那么a+c>b+c. 新知探究 问题5  类比等式的乘法性质，请猜想不等式中类似的基本性质. (3)乘法性质 设a、b、c均为实数，如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc. 设a、b、c均为实数，如果a>b,那么ac>bc. × 不正确.举反例，设a=3，b=2，c=-4，满足a>b， 而ac=-12，bc=-8，不满足ac>bc. 证明：显然，ac-bc=(a-b)c.因为a>b，所以a-b>0. 当c>0时，(a-b)c>0，所以ac>bc; 当c<0时，（a-b)c<0，所以ac<bc. 新知探究 问题6  等式与不等式的性质有哪些相同点和不同点？ 等式与不等式在加减运算和乘除正数时具有相同的性质. 但在乘除负数时，不等式的行为与等式不同，且不等式具有方向性。 理解这些相同点和不同点有助于更好地掌握等式与不等式的性质及其应用。 典例分析 例1 证明：如果a+b>c，那么a>c-b；反之亦然. 证明 若a+b>c，利用不等式的加法性质，在不等式两边 同加-b，即得a>c-b 反过来，若a>c-b，仍利用不等式的加法性质，在不等式 两边同加b，即得a+b>c. 典例分析 例2 证明：已知a>b,c>d. 求证：a+c>b+d. 证明 因为a>b，c>d，所以a-b>0，c-d>0. 于是 (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0， 即a+c>b+d. 典例分析 例3 证明：已知a>b,c>d .求证：a-d>b-c. 证明 因为a>b，c>d，所以a-b>0，c-d>0. 于是 a-d-(b-c)=(a-b)+(c-d)>0， 即a-d>b-c. 典例分析 例4 （1）已知a>b>0，求证： 证明 （1）因为a>b>0，所以ab>0. 由不等式的乘法性质，在不等式a>b的两边同时乘,得,. 典例分析 例4 （2）已知0>a>b，求证：0> 问题8  判断命题“较大的数的倒数一定比较小的数的倒数小”是否为真命题，请说明理由. （2）因为0>a>b，所以ab>0. 由不等式的乘法性质，在不等式a>b的两边同时乘,得,. 典例分析 例5 已知a>b>0,c>d>0. 求证： 证明 因为c>d>0，利用例题4(1)的结论，有. 又因为a>b>0，由不等式的乘法性质，有 及，从而由不等式的传递性得到. 新知探究 问题9  根据不等式的同向可加性“如果a>b，c>d，那么a+c>b+d." 能否类比给出一条和乘法有关的不等式的性质？ 已知a>b>0，c>d>0.求证：ac>bd. 证明 因为a>b，c>0，所以ac>bc. 又因为c>d，b>0，所以ac>bd. 新知探究 问题10  “如果a>b>0，那么a²>b².”当结论中的指数2变为其它的正整数时候，是否仍然成立？ 已知a>b>0，求证：an>bn，其中n是正整数. 证明 将上题的结论中的c换成a，d换成b，就得到a²>b²>0. 结合a>b>0，再次利用上题的结论，可得a3>b3>0，反复运用结论，最终就得到an>bn. 新知探究 问题11  从“弦图”中可以观察到大正方形面积和四个小直角三角形面积之和之间存在怎样的不等关系？ 问题12  在“弦图”中，设“勾”长度为a，“股”长度为b.我们可以得到怎样的关于a、b的不等式？ 大正方形面积≥四个小三角形面积之和 a2+b2≥2ab 新知探究 定理 对于任意的实数a和b，总有 a2+b2≥2ab, 且等号当且仅当a=b时成立. 典例分析 例6 设a是实数，比较(a+1)2与a²-a+1的值的大小． 解 (a+1)2-a²-a+1=a²+2a+1-a²+a-1=3a. 当a>0时,(a+1)2>a²-a+1; 当a=0时,(a+1)2=a²-a+1; 当a<0时,(a+1)2<a²-a+1. . 典例分析 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ _______ a>b，c<0⇒ _______ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒ ___________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ ________ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 < > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > 利用不等式性质判断命题真假 题型一 题型探究 思路点拨：本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断． D 利用不等式性质判断命题真假 题型一 题型探究 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件， 不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质. 解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件； 二是取值要简单，便于验证计算. 利用不等式性质证明简单不等式 题型二 题型探究 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 题型探究 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 利用不等式性质证明简单不等式 题型二 比大小 题型三 题型探究 3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4) =2>0， 所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4) 比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或 与1比较). 利用不等式性质求范围 题型四 题型探究 4.已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围. (1)a； 证明　∵3<a＋b<4， 又∵0<b<1，∴－1<－b<0， ∴2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)a－b； 证明　∵0<b<1，∴－1<－b<0. 又∵2<a<4，∴1<a－b<4. 利用不等式性质求范围 题型四 题型探究 4.已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围. 利用不等式性质求范围 题型四 题型探究 5.已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则2a－b的取值范围是 _____________. 解析　因为0<a＋b<2，－1<－a＋b<1， 利用不等式性质求范围 题型四 题型探究 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围. 提分笔记 课堂小结 不等式的性质 逻辑推理 判断两实数大小的充要条件 基本性质：传递性、加法性质、乘法性质 常用性质：同向可加性等 感谢聆听! 购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？ 两边同乘以，得<. 又e<0，∴>. (3). 证明　∵0<b<1，∴>1， 又∵2<a<4，∴>2. －<2a－b< 且2a－b＝(a＋b)－(－a＋b)， 结合不等式的性质可得，－<2a－b<. $$