2.1.3 不等式的性质（1）学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

第 2 章　等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 2.1.3 不等式的性质（1） 【学习目标】 学习要求 学科素养 1、会运用作差法比较两个数或式的大小； 2、掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题； 3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力； 1、逻辑推理：运用不等式的性质、反证法证明不等式； 2、数学运算：灵活选用不等式性质与推论； 3、直观想象：在几何图形中发现不等式； 4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题； 5、数学抽象：掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法； 【自主学习】 问题导学：预习教材P28－P33的内容，思考以下问题： 1、如何比较两个实数的大小？2．不等式的性质有哪些？3、不等式的性质有哪些推论？ 【知识梳理】 1、比较实数a，b的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对； （2）符号表示：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 2、不等式的性质 （1）传递性 设a、b、c均为实数，如果a>b，b>c，那么a>c； （2）加法性质 设a、b、c均为实数，如果a>b，那么a＋c>b＋c； （3）乘法性质 设a、b、c均为实数，如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc； 还有（可以验证） （4）性质 设a、b均为实数，a＞b(b＜a； （5）性质 设a、b、c均为实数，如果a＋b>c，则a>c－b；(不等式的移项法则) （6）性质 设a、b、c、d均为实数，如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；(同向可加性) （7）性质 设a、b、c、d均为实数，如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. （8）性质 设a、b均为实数，如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)． （9）性质 设a、b均为实数，如果a>b>0，那么. > 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 3、不等式证明方法【拓展】 （1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中P是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论； （2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中P是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件； （3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； 【自我尝试】 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2；(　　) （2）不等式x≥2的含义是指x不小于2；(　　) （3）若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确；(　　) （4）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d；(　　) 1、答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2、设a，b，c∈R，且a>b，则(　　) A．ac>bc　　　B． C．a2>b2 D．a3>b3< 2、答案：D 3、已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 3、解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的推论2知，D一定成立． 4、若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________． 4、答案：M >N；解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M >N； 【题型探究】 题型一、数（式）大小的比较 例1、比较下列各组中两数的大小： （1）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小； （2）已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； （3）已知x，y均为正数，设m＝，比较m和n的大小。，n＝＋