2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

第 2 章　等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 【学习目标】 学习要求 学科素养 1、理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集； 2、掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数； 3、掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值； 1、逻辑推理：运用等式的性质探讨一元二次方程的解集； 2、数学运算：灵活等式性质解决根与系数的关系； 【自主学习】 问题导学：预习教材P26－P8的内容，思考以下问题： 1、如何通过判别式Δ判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的情况？2、一元二次方程的根与系数有什么关系？ 【知识梳理】 1、一元二次方程的解集 一元二次方程 化为 的形式，过程如下： 因为 ，所以方程可化为 ， 因为 EMBED Equation.DSMT4 所以原方程可变形为 , 从而可知， 的符号情况决定了上述方程的解集情况： （1）当 时，方程的解集为 ； （2）当 时，方程的解集为 ； （3）当 时，方程的解集为 . 【说明】一般地， 称为一元二次方程 的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为 ； （2）当Δ＝0时，方程的解集为 ； （3）当Δ<0时，方程的解集为 。 2、一元二次方程根与系数的关系【韦达定理】 若 是一元二次方程 的两个根，则原方程可改写为 ， 展开得： ，与原方程比较可知对应系数应该相等， 即 ，所以 ； 【说明】一元二次方程根与系数关系的关系也称为“韦达定理”； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：① ；② ；③ ； 【自我尝试】 1、判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实数根，则b2－4ac>0.(　　) （2）一元二次方程x2＋ax＋a－1＝0有实数根．(　　) 1、答案：（1）√；（2）√； 2、下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(　　) A．x2＋1＝0　 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0 2、答案：D 3、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，则k的取值范围是________． 3、答案：(－∞，4] 解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4. 4、已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＝________. ＋ 4、答案：－2 解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以＝－2. ＝＋ 【题型探究】 题型一、方程根个数的判断及应用 例1、已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围； （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有实数根；（4）方程无实数根； 【提示】利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集； 【解析】Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)； （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<； （2）因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝； （3）因为方程有实根，所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤； （4）因为方程无实根，所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>； 【方法归纳】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；（3）当Δ<0时，方程没有实数根。　 ；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 题型二、直接应用根与系数的关系进行计算 例2、若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|；＋；（2）＋x 【提示】注意结合代数变形，整体计算； 【解析】【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， （1）x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018；＋x （2）；＝＝＝＋ （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972； （4）|x1－x2|＝；＝4＝＝＝ 【方法归纳】在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含