第2章《轴对称图形》竞赛题精选-2021-2022学年江苏省八年级数学上册

第2章《轴对称图形》竞赛题精选-2021-2022学年江苏省八年级数学上册 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）（2020秋•綦江区期末）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（　　） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解． 【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6， ∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3＝15； ②当腰为3时，3+3＝6，三角形不成立； ∴此等腰三角形的周长是15． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想． 2．（4分）（2020秋•九龙县期末）如图所示，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于R点，PS⊥AC于S点，PR＝PS，则四个结论：①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP，正确的结论是（　　） A．①②③④ B．只有①② C．只有②③ D．只有①③ 【分析】考查等边三角形的性质，在等边三角形中，角平分线即为中线，也为垂线，然后再利用全等，角相等进行判断． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，∴P在∠A的平分线上，∴①正确； 由①可知，PB＝PC，∠B＝∠C，PS＝PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS＝AR，②正确； ∵AQ＝PQ，∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，∴PQ∥AR，③正确； 由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，④也正确 ∵①②③④都正确， 故选：A． 【点评】熟练掌握等边三角形的性质． 3．（4分）（2017•崂山区校级自主招生）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】由折叠特性可得CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC＝90°，推出∠ABE＝∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长求解． 【解答】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF， 由折叠特性可得，CD＝BC′＝AB，∠FC′B＝∠EAB＝90°，∠EBC′＝∠ABC＝90°， ∵∠ABE+∠EBF＝∠C′BF+∠EBF＝90° ∴∠ABE＝∠C′BF 在△BAE和△BC′F中， ， ∴△BAE≌△BC′F（ASA）， ∵△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝1+2＝3， △ABE和△BC′F的周长＝2△ABE的周长＝2×3＝6． 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等． 4．（4分）（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示： 当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 5．（4分）（2018•市南区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　） A．150° B．135° C．120° D．110° 【分析】连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC＝2，根据正弦的定义得到∠DBE＝60°，根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质、邻补角的概念计算即可． 【解答】解：连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F， ∵点D在BC边的中垂线上， ∴DB＝DC＝2， 在Rt△DEB中，sin∠DBE＝＝， ∴∠DBE＝60°， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL） ∴∠DCF＝