2.2.3 两条直线的位置关系-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

2．2.3　两条直线的位置关系 课程标准 素养解读 1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标 2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别 3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系 1.通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养 2.借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养 [情境引入] 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线相交、平行与重合的条件　 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交⇔　k1≠k2　； ②l1∥l2⇔　k1＝k2且b1≠b2　； ③l1与l2重合⇔　k1＝k2且b1＝b2　. (2)向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即　A1B2≠A2B1　. ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即　A1B2＝A2B1　； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得 　直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？ [提示]　平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2. [知识点二]　两条直线垂直　 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔　k1·k2＝－1　 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是　l1⊥l2　 图示 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根，则l1与l2的位置关系为　________　. 解析：由题意知一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根x1·x2＝－1， ∴直线l1、l2的斜率之积k1k2＝－1，∴直线l1⊥l2. 答案：垂直 4．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则a＝　________　. 解析：因为直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，所以1×(－1)－2a＝0，解得a＝－. 答案：－ 　　　两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． ([变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组，得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　　　两条直线相交、平行、重合的判定 [例2]　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． [思路点拨]　可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值． [解]　∵