2.3.1 圆的标准方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点 2.会根据已知条件求圆的标准方程 3.能准确判断点与圆的位置关系 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养 [情境引入] 《古朗月行》 唐　李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ [知识梳理] [知识点]　圆的标准方程　 1．圆的定义：平面内到一　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．确定圆的基本要素是　圆心　和　半径　，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　. 　当a＝b＝0时，圆的标准方程是什么？ [提示]　当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以　原点O　为圆心、半径为r的圆． 4．点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d，半径为r. d与r的大小 点与圆的位置 d<r 点P在圆内 d＝r 点P在圆上 d>r 点P在圆外 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　　　　　 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 解析：B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 3．记圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则a＋b＋r＝　_________　 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝2 ∴＋1 　∴a＋b＋r＝ 答案：＋1 　　　求圆的标准方程 [例1]　求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程． [思路点拨]　法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程． [解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴， ＝ 解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)， kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1,1)，圆的半径为 ＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 　确定圆的方程的方法： 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [变式训练] 1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)， 设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r. ∴r＝，　① 又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，② 由①②得，或 ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋