2.2.4 点到直线的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

2．2.4　点到直线的距离 课程标准 素养解读 1.了解点到直线距离公式的推导方法 2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题 3.初步掌握用解析法研究几何问题 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路．请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 提示：铺设一条从饭馆到公路的垂直道路，道路的长度最短． [知识梳理] [知识点一]　点到直线的距离　 1．概念：平面内点到直线的距离等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． 2．公式：点P(x0，y0)到直线l∶Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . 1.在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　要求直线的方程应化为一般式． [知识点二]　两平行直线间的距离　 1．概念：夹在两条平行直线间的　公垂线段　的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l1∶Ax＋By＋C1＝0与l2∶Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ . 2.在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　) (3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　　 B.　　　C．2　　　D. 解析：D　[利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝.]＝ 3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3　　 B．2　　　C．1　　　D. 解析：C　[d＝＝1.] 　　　点到直线的距离 [例1]　求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝；(2)y＝6；(3)x＝4. x＋ [解]　(1)把方程y＝. ＝写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝x＋ (2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8. 法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1. 　点到直线距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合． ([变式训练] 1．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知： d＝. ＝＝ 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 　　　两条平行直线间的距离 [例2]　已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. [思路点拨]　由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， ，d2＝ 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 　求两条平行线间距离的方法 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝ ([变式训练] 2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程． 解：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得＝3，解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0. 　　　距离公式的综合应用 [例3]　已知