第三章 §4 4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系（课件PPT）【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §4　向量在立体几何中的应用 4．2　用向量方法讨论立体几何中的位置关系 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点　空间中的垂直与平行关系及三垂线定理 预习教材，思考问题 (1)设空间两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2.怎样用直线的方向向量和平面的法向量来表示①l1∥l2；②l1∥α；③α∥β ? [提示]　①l1∥l2⇔u1∥u2；②l1∥α⇔u1⊥n1；③α∥β⇔n1∥n2. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 (2)设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，两个平面α，β的法向量分别为n1，n2.类似空间中直线、平面平行的向量表示，怎样用直线的方向向量和平面的法向量来表示①l1⊥l2；②l1⊥α；③α⊥β ? [提示]　①l1⊥l2⇔u1⊥u2；②l1⊥α⇔u1∥n1；③α⊥β⇔n1⊥n2.　　　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 题型一　用向量法证明空间中的平行关系 [典例]　已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE. (2)平面ADE∥平面B1C1F. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [证明]　(1)建立如图所示空间直角坐标系， 则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq \o(FC1,\s\up16(→))＝(0,2,1)，eq \o(DA,\s\up16(→))＝(2,0,0)，eq \o(AE,\s\up16(→))＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥eq \o(DA,\s\up16(→))，n1⊥eq \o(AE,\s\up16(→))， 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up16(→))＝2x1＝0，,n1·\o(AE,\s\up16(→))＝2y1＋z1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝－2y1，)) 令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2)． 因为eq \o(FC1,\s\up16(→))·n1＝－2＋2＝0，所以eq \o(FC1,\s\up16(→))⊥n1. 又因为 FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 (2)因为eq \o(C1B1,\s\up16(→))＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥eq \o(FC1,\s\up16(→))，n2⊥eq \o(C1B1,\s\up16(→))， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2·\o(FC1,\s\up16(→))＝2y2＋z2＝0，,n2·\o(C1B1,\s\up16(→))＝2x2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝0，,z2＝－2y2.)) 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 提醒：利用共面向量定义证明线面平行时要注意两点：①保证线在面外；②保证面内两直线相交. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG∥平面HMN. 数学·