专题1.2 集合之间的关系-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题1.2 集合之间的关系 知识梳理 一、子集： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合A包含集合B。 记作:A⊆B, B⊇A， 读作：A包含于B或B包含A。 特别提醒：1、A是B的子集”的含义是：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，即由x∈A，能推出x∈B。如：{1,-1}⊆{-1,0,1,2}；{深圳人}⊆{中国人}。2、当“A不是B的子集”时，我们记作：“A ⊊B，B⊋A”，读作：“A不包含于B，（或B不包含A）”。如：{1,2,3}⊊{1,3,4,5}。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A，它的任何一个元素都属于集A本身，记作A⊆A。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有∅⊆A。5、在子集的定义中，不能理解为子集A是集合B中部分元素组成的集合。因为若A=∅，则A中不含有任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集。 二、集合相等： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证A=B，只需证A⊆B与B⊆A都成立即可。 三、真子集： 对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集， 记作：A⊈B或B⊋A, 读作A真包含于B或B真包含A 特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A，B，C，如果A⊈B ,B⊋C那么A⊈C。 3、 两个集合A、B之间的关系： A⊆B A=B ⇒ A⊆B且B⊆A A≠B ⇒ A⊊B A⊊B A⊈B 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 一、集合间关系的判断 例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅⊆{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 跟踪训练1　能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　) 二、子集、真子集的个数问题 例2　已知集合M满足{1,2}，M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 跟踪训练2　已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为(　　) A．15 B．16 C．31 D．32 三、集合间关系的应用 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 延伸探究 1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 2．若本例条件“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 跟踪训练3　若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) 一、单选题（共10小题） 1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4＜0，x∈Z}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A．{0，1，3} B．{﹣2，0，1，2，3} C．{0，﹣1，﹣3} D．{﹣1，0，1，3} 2.已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．若B⊆A，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．[0，2] 3.